Определение характеристик плоской волны, возбуждаемой поверхностным магнитным током

Исследуем электромагнитное поле волны, возбуждённой листом магнитного тока (см.п.1.5). Примем для простоты, что вектор магнитного тока направлен вдоль оси X, амплитуда его во всех точках плоскости XOY постоянна, а фаза меняется по линейному закону в направлении, совпадающем с направлением вектора тока, то есть в выражении для тока (5.1) нужно принять . Тогда комплексная амплитуда поверхностного магнитного тока запишется в следующем виде:

(1.6.1)

Электромагнитное поле, созданное током (1.6.1), в соответствии с методикой, изложенной в п.1.5 (см.выражения 1.5.7), будет иметь следующие составляющие:

(1.6.2)

где . (1.6.3)

Из формулы (1.6.3) следует, что в зависимости от величины отношения коэффициент может либо иметь действительное значение (при ), либо быть мнимой величиной (при ). В зависимости от этого характер возбуждаемой волны и её свойства будут различными.

Рассмотрим отдельно случаи и .

1.6.1 Примем, что и может принимать значения в интервале .

В этом случае - действительная положительная величина (см. формулу (1.3.14) и пояснения к ней).

Согласно (1.6.2) электромагнитное поле будет иметь следующие компоненты:

(1.6.4)

Каждая из составляющих в (1.6.4) имеет характер бегущей волны. Направление распространения волны указывается волновым вектором () и образует с осями прямоугольной системы координат углы , и .

 

Задание 1.6.1

Определить углы , и ; построить зависимости при изменении в интервале .

 

Задание 1.6.2

Доказать, что уравнения (1.6.4) описывают плоскую волну. Для этого, в соответствии с материалом, изложенным в параграфе 1.2, записать уравнение волновой поверхности и проанализировать его.

 

Задание 1.6.3

Доказать, что плоская волна, описываемая соотношениями (1.6.4), является однородной. Для этого, в соответствии с параграфом 1.2, записать уравнение поверхности равных амплитуд и проанализировать его.

Скорость движения фронта волны вдоль направления распространения - фазовая скорость - в случае определяется выражением:

(1.6.5)

Задание 1.6.4

Определить зависимость фазовой скорости (1.6.5) от направления распространения плоской однородной волны при изменении в интервале . Построить график зависимости . Сделать вывод о соотношении величин фазовой скорости и скорости света в среде с заданными параметрами , .

 

Задание 1.6.5

Для плоской волны, описываемой соотношениями (1.6.4), определить взаимную ориентацию векторов и в пространстве, а также ориентацию их относительно направления распространения волны. Для этого необходимо вычислить скалярные произведения:

(1.6.6)

Определим отношение комплексных амплитуд поперечных относительно направления распространения волны составляющих электрического и магнитного полей.

В рассматриваемом случае поперечные составляющие электрического и магнитного полей имеют следующий вид:

(1.6.7)

 

Задание 1.6.6

Определить отношение поперечных составляющих электрического и магнитного полей плоской однородной волны, описываемой выражениями (1.6.4). Построить график при . Сделать вывод о зависимости от направления движения плоской волны.

 

Задание 1.6.7

Определить направление переноса энергии плоской волны в пространстве, воспользовавшись выражением для вектора Пойнтинга:

, (1.6.8)

где знак * над вектором означает комплексное сопряжение. В выражении (1.6.8) поля и описываются соотношениями (1.6.4). Построить график зависимости при изменении в интервале . Сделать выводы.

Определим, как поляризовано магнитное поле плоской однородной волны, имеющей составляющие магнитного поля и . Из соотношений (1.6.4) следует, что составляющие и синфазны во времени, так как компоненты и вектора - действительные величины. Суммарный вектор напряжённости магнитного поля, полученный в результате сложения синфазных векторов и , будет иметь следующий вид:

(1.6.9)

В выражении (1.6.9) принято, что начальные фазы и составляющих вектора равны нулю. Действительная часть этого комплексного вектора

(1.6.10)

Модуль вектора , описываемого выражением (1.6.10), равен:

(1.6.11)

Определим, как меняются величина и направление вектора в каждой точке пространства за период колебаний. Обозначим через угол, образованный вектором с осью X. Тогда из формулы (1.6.10) следует, что

, (1.6.12)

откуда можно сделать вывод, что положение вектора относительно оси X не зависит от координат и не меняется во времени. Анализ выражения (1.6.11) для модуля вектора показывает, что в фиксированной точке пространства вектор с течением времени остаётся ориентированным параллельно прямой линии, составляющей с осью X угол (рис.1.5). Таким образом, мы приходим к выводу, что в рассматриваемом случае волна линейно поляризована.

1.6.2 Рассмотрим случай, когда (при ). Коэффициент

(1.6.13)

является чисто мнимой величиной. О выборе знака перед мнимой единицей было сказано ранее (см. формулу (1.3.15) и пояснения к ней). Тогда волновой вектор становится комплексным и может быть представлен в виде действительной и мнимой частей:

(1.6.14)

Подставляя выражение (1.6.14) в соотношения (1.6.4), определим компоненты электрического и магнитного поля при :

( 1.6.15)

Наличие в соотношениях (1.6.15) множителя бегущей волны указывает на то, что волна, имеющая составляющие (1.6.15), распространяется вдоль оси X, то есть вдоль листа магнитного тока, что совпадает с направлением вектора .

Волна, описываемая соотношениями (1.6.15), является плоской неоднородной волной и относится к классу поверхностных, медленных волн (см. параграф 1.1). Чтобы убедиться в этом, необходимо выполнить задания 1.6.8 и 1.6.9, учитывая общие соображения, изложенные в параграфе 1.2.

 

Задание 1.6.8

Получить уравнение волновой поверхности для волны, описываемой соотношениями (1.6.15), и показать, что оно является уравнением плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

 

Задание 1.6.9

Получить из соотношений (1.6.15) уравнение поверхности равных амплитуд и показать, что оно является уравнением плоскости. Определить взаимное расположение плоскости равных фаз и плоскости равных амплитуд.

Фазовая скорость волны, определяемая как скорость движения волновой поверхности вдоль направления распространения волны (в данном случае, вдоль оси X), равна:

(1.6.16)

Задание 1.6.10

Определить зависимость фазовой скорости плоской неоднородной волны от (). Построить график зависимости при изменении в интервале . Сделать вывод о соотношении величин фазовой скорости волны и скорости света в среде с заданными параметрами , .

 

Задание 1.6.11

Для плоской волны, описываемой соотношениями (1.6.15), определить взаимную ориентацию векторов и в пространстве, а также ориентацию их относительно направления распространения волны. Для этого вычислить следующие скалярные произведения:

; (1.6.17)

Задание 1.6.12

Воспользовавшись результатами, полученными при выполнении задания 1.6.11, определить поперечные составляющие векторов электрического и магнитного полей и получить выражение для отношения поперечных составляющих . Построить зависимость при изменении в интервале .

Выясним, переносит ли плоская неоднородная волна энергию и в каком направлении. Определим для этого вектор Пойнтинга. Подставим в выражение (1.6.8) составляющие полей и из (1.6.15) и вычислим векторное произведение. Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае вектор Пойнтинга является комплексной величиной:

(1.6.18)

Задание 1.6.13

Получить выражения для действительной и мнимой частей вектора Пойнтинга (1.6.18). Показать, что действительная часть равна среднему за период колебаний значению вектора Пойнтинга, характеризует перенос энергии волны вдоль плоскости XOY и совпадает с направлением распространения волны. Построить график зависимости при изменении в диапазоне .

Задание 1.6.14

Используя полученное из задания 1.6.13 выражение для вектора Пойнтинга, показать, что среднее значение за период колебаний мнимой части равно нулю. Сделать вывод о том, возможен ли перенос энергии этой составляющей. Построить график зависимости . Определить зависимость от .

Определим поляризацию магнитного поля плоской неоднородной волны. Вектор напряжённости магнитного поля согласно (1.6.15) имеет две составляющие, сдвинутые по фазе во времени друг относительно друга на . Представим вектор в следующем виде:

, (1.6.19)

где ; . Начальные фазы и составляющих и принять равными нулю.

Выделим действительную часть комплексного вектора :

(1.6.20)

Модуль вектора в (1.6.20) равен

(1.6.21)

Определим, как меняются величина и направление вектора в каждой точке пространства за период колебаний. Обозначим через угол между вектором и осью Z. Тогда из выражения (1.6.20) следует, что

(1.6.22)

Из анализа выражений (1.6.21) и (1.6.22) следует, что величина вектора и направление его меняются с течением времени. При постоянном значении координаты X вектор вращается с угловой скоростью .

 

Задание 1.6.15

Показать, что при фиксированном значении координаты X, например, X=0, конец вектора в соответствии с выражением (1.6.21) за период колебаний описывает эллипс. Определить оси эллипса. Построить поляризационный эллипс. Сделать вывод о том, как в рассматриваемом случае поляризовано поле плоской неоднородной волны.