Зміна рядків. Перестановочна матриця

Розв’язати систему лінійних рівнянь Ах = b, де

В такому випадку розкласти матрицю А=LU неможливо. Існують спеціальні матриці, при множенні на які можна переставити рядки.

Матриця переставляє 1 і 2 рядки.

Матриця переставляє 2 і 3 рядки.

Матриця РА вже трикутна. Розв’яжемо систему лінійних рівнянь РАх = Рb.

Даний розв’язок і буде розв’язком системи лінійних рівнянь Ах = b.

В загальному випадку перестановочна матриця Р переставляє рядки матриці А, уникаючи нулів на головній діагоналі. В цьому випадку РА може бути розкладена на LU, тобто РА = LU.

Приклад.Знайти розклад РА=LDU для матриці А=

 

 

§3. Прямокутні матриці з ортонормованими стовпцями.
Процес Грамма-Шмідта

Нехай маємо три незалежних вектора а, b, с. Ортогоналізуємо дану систему векторів.

- одиничний вектор.

Вектор ортогональний вектору .

- одиничний вектор.

Вектор ортогональний до і .

В результаті ми одержали ортонормовану систему векторів, які утворюють ортогональну матрицю Q.

Процес Грамма-Шмідта починається з незалежних векторів а1, а2,..., аn і закінчується ортонормованими векторами q1, q2,…, qn. На j-ому кроці віднімаємо від аj його координати в напрямках, які вже встановлені:

і - одиничний вектор.

 

§4. Розклад А=QR

Встановимо зв’язок між матрицями A і Q. Вектори а і q1 лежать на одній прямій. Кожен вектор площини є лінійною комбінацією векторів q1 і q2 :
.

Аналогічно с є лінійною комбінацією векторів q1, q2, q3 :

Виразивши це в матричній формі отримаємо новий розклад А=QR.

Розклад A=QR подібний до A=LU, але зараз перший множник Q має ортонормовані стовпці, а другий множник R – верхня трикутна матриця.

 

Приклад 1.Знайти розклад матриці А=QR

 

Приклад 2.Знайти розклад матриці А=QR

Можливо розклад QR є не такий гарний, як LU (тому, що є квадратні корені), але обидва розклади є важливими в курсі лінійної алгебри. Розклад LU ввів Герц, а розклад QR ввів Авіс.

Зауваження.Кожну матрицю А розмірності з лінійно незалежними стовпцями

можна розкласти на множники A=QR. Колонки Q є ортонормованими, а матриця R верхня трикутна. Якщо m=n, то всі матриці квадратні і Q стає ортогональною матрицею.

Приклад 3.Розв’язати систему лінійних рівнянь, використовуючи розклад А=QR.

Отримаємо систему лінійних рівнянь

 

 

Інші цікаві розклади матриць

Використовуючи розклади матриці А можна розв’язати систему лінійних рівнянь Ах = b, якщо:

1. A=LU, тоді Lc=b, Ux=c, x=U-1L-1b;

2. A=QR, тоді Qc=b, Rx=c, x=R-1QTb.

Розглянемо розклади матриць:

1. Розклад Чолескі для симетричної матриці А:

,

де - діагональна матриця, яка утворюється з D добуванням квадратного кореня з її елементів.

2. Скорочений розклад:

,

де матриці мають такі розмірності , ,

1. Якщо матриця А симетрична, то LT =U і в такому випадку A=LDLT=LDU.

 

Приклад 1.

 

Приклад 2.

Матриця та ж сама матриця R з процесу Грамма-Шмідта. Одержані в результаті матриці Q і R дають розклад A=QR.



2. Скорочений розклад

Подібно симетричному розкладу LDLT він є кращий, ніж A=LU, але дещо відрізняється. Якщо А має ранг r, ми маємо тільки r стовпців в матриці L і r
рядків в U. Останні m-r рядків U можна відкинути. Останні n-r стовпців матриці L теж можна відкинути. В результаті множення ми одержуємо ту ж матрицю А. Матрицю рангу r можна розкласти на добуток матриць розмірностей . У випадку, коли матриця А потребує перестановки рядків, то РА=LU і необхідна незначна зміна: формується з перших r стовпців замість .

В кожному випадку r стовпців є базисом для векторів-стовпців А, і r рядків є базисом для векторів-рядків А.

Приклад.Розкласти матрицю

 

Задачі

1. Розкласти на множники L і U матриці:

2. Розкласти на множники L і U матрицю А і розв’язати систему лінійних рівнянь

3. Знайти розклад РА=LDU

4. Розкласти матрицю А на множники Q і R

5. Розкласти матрицю А на множники Q і R

6. Розв’язати систему лінійних рівнянь використовуючи розклад А=QR

7. Розкласти матрицю на QR врахувавши, що перший стовпчик уже одиничний вектор.

8. Для матриці знайти ортонормований базис для векторів- стовпчиків, записати A=QR, розв’язати систему лінійних рівнянь Ax=b, якщо b=(-3,7,1,0,4).

9. Розкласти матрицю А на множники

10. Зробити розклад Чолескі для матриці А:


Бібліотека термінів

 

А

Абелева група – група, в якій операція комутативна, тобто

"a "b (a*b=b*a)

Алгебра множина із введеними на ній алгебраїчними операціями.

Алгебраїчним доповненням А елемента аij квадратної матриці А n-го порядку називається мінор Мij матриці А, помножений на (-1)i+j, тобто Аij=(-1)i+jМij

 

Б

Базис – лінійно незалежна підсистема аi1i2,…,аin системи векторів а12,…,аm простору Vn , якщо кожний вектор даної системи є лінійною комбінацією векторів підсистеми.

Базис векторного простору – лінійно незалежна система твірних.

В

Векторний (лінійний) простірнад полем Р – множина елементів довільної природи, в якій введено операції додавання і множення на елементи поля (скаляри) і виконуються аксіоми:

1) <Vn,+> - абелева група;

2) Операція множення на скаляр асоціативна

" k,l є P , " a є Vn ((kl)a=k(la));

3) " a є Vn (1*a=a), 1 P;

4) Операція множення на скаляр дистрибутивна відносно додавання елементів множини Vn

" k є P " a,b є Vn (k(a+b)=ka+kb);

5) Операція множення на скаляр дистрибутивна відносно додавання скалярів

" k,l є P " a є Vn ((k+l)a=ka+kb).

Визначена система лінійних рівняньсумісна система лінійних рівнянь, яка має єдиний розв’язок.

Власний вектор оператора Авектор а¹0, який задовольняє умові аА=lа, де l є Р.

Власне значення оператора А– число l, яке відповідає власному вектору а такому, що аА=lа .

 

Г

Головна діагональ квадратної матриці n-го порядку– діагональ, яка йде від лівого верхнього кута до нижнього правого, тобто яка складається з елементів а1122,…,аnn.

Група множина G із введеною на ній алгебраїчною операцією * , якщо виконуються такі властивості:

1) асоціативність операції " a,b,c є G ((a*b)*c=a*(b*c));

2) нейтральний елемент " a є G $ e (a*e=e*a=a);

3) симетричний елемент " a є G $ a¢ (a*a¢=a¢*a=e).

Д

Детермінант n-го порядку квадратної матриці– алгебраїчна сума n! членів (доданків), кожен з яких є добутком n елементів, взятих з різних рядків і з різних стовпчиків, причому цей добуток береться із знаком плюс, якщо перестановка, утворена з других індексів (при умові, що перші йдуть по порядку), парна, і з протилежним знаком, якщо ця перестановка непарна

Дефект лінійного оператора dim(KerA)розмірність ядра цього оператора.

Діагональна матриця– квадратна матриця D = (dij) n-го порядку, якщо всі її елементи, які не належать головній діагоналі, дорівнюють нулю

"i, j ( i¹ j => dij=0).

Дійсний векторний (лінійний ) простірпростір Vn, якщо поле Р - це поле дійсних чисел.

Добутоквектора a=(a1,a2,…,an) на число k є P – вектор

ka=(ka1,ka2,…,kan).

Добуток матриці А на елемент k є P– матриця kA = (kаij)m*n.

Добуток матриці А на матрицю Вматриця АВ = (сpq)m*l, де

А=(аij)m*n , В=(bsk)n*l , сpq=ap1b1q+ap2b2q +…+apnbnq. При цьому матриця Аназивається лівим множником, матриця Вправим множником.

Добуток лінійних операторів А і Воператор D, який визначається формулою " х є Vn (xD=(xA)B) і позначається D=AB.

Добуток лінійного оператора А на число k– оператор В, який визначається формулою " х є Vn k є Р (хВ=kxA) і позначається В=kA.

Довжина ( норма ) вектора а - невід’ємне значення квадратного кореня з числа (а,а), позначається êêа êê.

 

Е

Евклідовий простірдійсний векторний простір, в якому визначений скалярний добуток.

Елементарні перетворення матриці А:

1) перестановка рядків (стовпчиків);

2) множення рядка (стовпчика) на довільне, відмінне від нуля число;

3) додавання рядків (стовпчиків);

4) множення рядка (стовпчика) і додавання його до іншого рядка (стовпчика).

Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь:

1) перестановка місцями (транспозиція) двох рівнянь системи;

2) множення будь-якого рівняння системи на число, відмінне від нуля;

3) додавання до одного рівняння системи іншого її рівняння, помножене на деяке число;

4) викреслення невизначеного рівняння.

І

Ідемпотентна матриця– матриця, якщо А2=А.

Інваріантний підпростір U лінійного простору Vn відносно оператора Атакий підпростір, що UAÍU, тобто якщо образ хА довільного вектора х з U міститься в U.

Інверсіяупорядкована пара (i,j), якщо i > j.

i-ий діагональний елементелемент головної діагоналі матриці.

 

К

Квадратна матриця n-го порядку – матриця, в якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців.

Кільце – множина <K,+,* >, якщо:

1) <K,+> - абелева група;

2) * - асоціативна;

3) дистрибутивні закони

"a,"b,"c є K ( (a+b)c=ac+bc)

((a+b)=ca+cb).

Комутативне кільце– кільце, в якому операція множення комутативна.

Кососиметрична матриця - квадратна матриця, для якої A¢=-А.

Кут між векторами a i b ( ненульовими) евклідового простору Е – таке число j (0<=j<=p), що

Л

Лінійно залежна система векторів– система векторів а12,…,аm простору Vn, якщо існують такі числа k1,k2,…,km не всі рівні нулю, що

k1a1 +k2a2+…+kmam=0(*)

Лінійна комбінація векторів а12,…,аm - вектор b є Vn, якщо існують такі числа k1,k2,…,km, що b=k1a1+k2a2+…+kmam. Числа k1,k2,…,kn називаються коефіцієнтами цієї лінійної комбінації.

Лінійний многовид простору V – множина всіх векторів х=х0+y, де х0 – деякий вектор простору V,а y – будь-який вектор підпростору V¢ простору V.

Лінійно незалежна система векторів – система векторів для якої рівність (*)виконується лише при k1 = k2 = … = km = 0.

Лінійна оболонка системи векторів (простір, натягнутий на дану систему векторів) L(a1,a2,…,am) – множина всіх лінійних комбінацій векторів даної системи векторів.

L(a1,a2,…,am)={k1a1+k2a2+…+kmam êki є Р, i=1,…,m}.

Лінійний оператор А векторного простору V – оператор для якого виконуються такі умови:

1) " х12 є L ((х12)А1А2А);

2) " х є L " k є P ((kх)А=k(хА)).

Лінійне рівняння з n невідомими – рівняння виду а1х12х2+…+аnхn=b, де х12,…,хn – невідомі, а12,…,аn – числа з деякого числового поля Р. Числа а12,…,аn називають коефіцієнтами рівняння, а число

b – вільним членом цього рівняння.

М

Матрицяпрямокутна таблиця, яка складається з елементів даного поля.

Загальний вигляд матриці:

A = = (аij)

А = (a1,a2,…,an) В =

Мінором (n-1)-го порядку квадратної матриці А n-го порядку – детермінант матриці (n-1)-го порядку, який утворений з матриці А викресленням i-го рядка та j-го стовпчика.

Множенням матрицьоперація, яка матрицям А і В ставить у відповідність матрицю АВ = (сpq), де сpq = ap1b1q+ap2b2q+…+apnbnq , тобто сpq є сумою добутків відповідних елементів р-го рядка і q-го стовпчика.

Н

Невизначена система лінійних рівнянь -система лінійних рівнянь, якщо вона має безліч розв’язків

Невизначене рівняння– рівняння виду 0*х1+0*х2+…+0*хn = 0.

Несумісна система рівнянь – система рівнянь, яка не має жодного розв’язку.

Неособлива ( невироджена ) матрицяквадратна матриця, яка не є особливою.

Непарна перестановкаперестановка, в якій загальна кількість інверсій непарна.

Нормований вектор – вектор, довжина (норма) якого дорівнює 1.

n-мірним арифметичним простором над полем Р – множина Vn всіх

n-мірних числових векторів з координатами із поля Р із введеними на ній операціями додавання векторів і множення вектора на число з поля Р.

n-мірний числовий вектор- будь-яка впорядкована система n чисел a1,a2,…,an з поля P (деяке числове поле); числа a1,a2,…,an називаються його координатами ( компонентами): a1–першою координатою, a2–другою координатою,…, an–n-ою координатою.

О

Обернена матриця– матриця А-1, яка має таку властивість

АА-1 = А-1А = Е, де Е – одинична матриця відповідного порядку.

Область значень ІmA лінійного оператора Асукупність образів всіх векторів простору Vn.

Оборотна матриця - матриця, для якої існує обернена матриця.

Однорідне рівняння –лінійне рівняння

а1х12х2+…+аnхn = b, якщо його вільний член b дорівнює нулю.

Ортогональна матриця– квадратна матриця, якщо

АА¢ = A¢A = E.

Ортогональна система векторів – система векторів а12,…,аn, якщо будь-які її два вектори ортогональні, тобто (аij) = 0 для i ¹ j.

Ортогональне доповнення підпростору U – підпростір U^ всіх векторів простору Е, ортогональних підпростору U.

Ортогональні вектори – вектори a i b простору Е, якщо (a,b) = 0.

Ортогональний підпростору U вектор a – вектор простору Еn, якщо він ортогональний довільному вектору цього підпростору (записують а ^U).

Ортонормований базис - базис е12,…,еn евклідового простору Еn, якщо він ортогональний і всі його вектори нормовані, тобто

ij) =

Основна матриця СЛР– матриця, яка складена з коефіцієнтів СЛР.

Особлива (вироджена) матриця - квадратна матриця, якщо ранг матриці менший її порядку.

 

П

Парна перестановка – перестановка, в якій загальна кількість інверсій парна.

Парність підстановкисума числа інверсій у верхній і нижній перестановці.

Переріз підпросторів А,В,С,… - множина F=AÇBÇCÇ… векторів, які належать одночасно кожному з просторів А,В,С,… , де А,В,С,…-скінченна або нескінченна множинадеяких підпросторів простору V.

Перестановкою з n елементів – послідовність, утворена внаслідок впорядкування n-елементної множини.

Підпростір– непорожня підмножина V¢ векторного простору Vn, якщо вонa є лінійним простором відносно операцій, введених у Vn.

Підсистема- множина, яка складається з будь-яких k (k£m) векторів системи а12,…,аm.

Підстановкою з n елементівбієктивне відображення n-елементної множини на себе.

Полекомутативне кільце з одиницею, в якому

" a ≠ 0 $ a-1 (a*a-1 = 1).

Пропорційний вектор b з простору Vn вектору a з цього ж простору, якщо існує таке число k таке, що b=ka.

Пряма сума підпросторів – сума U=U1+U2+…+Um лінійних підпросторів U1,U2,…,Um простору V, якщо для довільного вектора u є U існує тільки одне представлення виду

u = u1+u2+…+um, де ui є Ui, i = 1,…,m.

Прямокутна матриця – матриця розміру m*n, якщо m ¹ n.

 

Р

Рангматриці – найвищий порядок мінорів цієї матриці, відмінних від нуля.

Ранг RangA лінійного оператора Арозмірність області значень ImА.

Ранг системи векторів – кількість векторів, які входять в будь-який базис даної системи векторів.

Рівні вектори– числові вектори a = (a1,a2,…,an),

b = (b1,b2,…,bn), якщо рівні їх відповідні координати, тобто

а = b ó a1 = b1 Ù a2 = b2 Ù … Ù an = bn.

Рівні матриціматриці, в яких рівні відповідні елементи.

Рівносильні системи лінійних рівнянь – системи лінійних рівнянь, множини розв’язків яких співпадають

Розв’язок рівняння – n-мірним числовий вектор

а = (а12,…,аn) такий, що рівняння перетворюється в істинну рівність після заміни в ньому невідомих хi відповідними координатами аi.

Розв’язок системи лінійних рівнянь – будь-який n-мірний числовий вектор а = (а12,…,аn), який є розв’язком кожного з рівнянь цієї системи.

Розмірністю многовиду Р – розмірність того підпростору V¢, зсувом якого було одержано цей многовид.

Розширена матриця – матриця, яка складена з коефіцієнтів і вільних членів системи.

Рядковий ранг матриці– ранг системи векторів-рядків матриці.

С

Симетрична матрицядовільна квадратна матриця А, якщо A¢=A.

Система лінійних однорідних рівнянь (СЛОР) – систем лінійних рівнянь, в якій всі вільні члени дорівнюють нулю.

Система лінійних рівнянь ( СЛР ) – система виду

де х12,…,хn - невідомі, а1112,…,аmn і b1,b2,…,bm - деякі числа з поля Р. Числа а1112,…,аmn називаються коефіцієнтами системи, а числа b1,b2,…,bmвільними членами системи.

Система твірних– система векторів а12,…,аn множини векторів лінійного простору, якщо будь-який вектор з цієї множини можна лінійно виразити через скінченне число векторів а12,…,аn:

a12,…,аn – система твірних º "аii=k1a1+k2a2+…+knan).

Скалярна матрицядіагональна матриця, якщо елементи її головної діагоналі рівні між собою.

Скалярне множення – операція, що кожній парі векторів a,b є Vn ставить у відповідність єдине дійсне число, яке називається скалярним добуткомвекторів a,b і познaчається символом (a,b), причому виконуються аксіоми скалярного добутку:

1. " a,b є Vn [(a,b) = (b,a)];

2. " a,b є Vn [(a+b,c) = (a,c)+(b,c)];

3. " a,b є Vn " k є R [(ka,b) = k(a,b)];

4. " a є Vn, a ¹ 0 [(a,a) ³ 0].

Спектром лінійного опереатора Авесь набір характеристичних коренів оператора А.

Стовпчиковий ранг матриці –ранг системи векторів-стовпчиків матриці А.

Сума векторів – вектор c=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn), де

a =(a1,a2,…,an), b=(b1,b2,…,bn).

Сума матриць А+В– матриця (аij+bij)m*n, де А = (аij)m*n,

В = (bij)m*n над полем Р

Сума операторів А+Воператор S, який кожному вектору х є Vn ставить у відповідність вектор хА+хВ і позначається S=A+B

Сума підпросторів U1,U2,…,Um - множина

U = U1+U2+…+Um всіх векторів, кожний з яких представляється у вигляді суми u1+u2+…+um, ui є Ui.

Сумісна система рівнянь – система рівнянь, яка має хоча б один розв’язок.

Суперечливе рівняння – рівняння виду

0*х1+0*х2+…+0*хn = b, b ¹ 0.

 

Т

Транспозиція зміна місцями двох елементів перестановки.

Транспонування детермінантаперехід від даного детермінанта до нового, одержаного з даного за таким правилом - всі рядки детермінанта записуються відповідними стовпчиками в новому детермінанті.

Транспонування матриціперехід від даної матриці до нової, одержаної з даної за таким правилом - всі рядки матриці записуються відповідними стовпчиками в новій матриці.

Ф

Фундаментальною системою розв’язків - будь-яка лінійно незалежна система векторів однорідної системи лінійних рівнянь, через яку лінійно виражається довільний розв’язок цієї системи.

Х

Нехай А=(аij) – деяка матриця n-го порядку над полем Р.

Е – одинична матриця порядку n, l - деяке невідоме, тоді матриця А-lЕ називається характеристичною матрицею матриці А.

А =

Характеристичним рівнянням матриці Арівняння

êА-lЕ ê= 0.

Характеристичні корені матриці Акорені êА-lЕ ê= 0 .

Характеристичне рівняння оператора А - характеристичне рівняння êА-lЕ ê=0 матриці А.

Характеристичні корені оператора А – корені êА-lЕ ê=0.

Я

Ядро KerA лінійного оператора А простору V– сукупність всіх векторів цього простору, які відображаються оператором А в нульовий вектор q

KerA = { x êx є V, xA = q} Ì V
Список використаних джерел

 

1. Завало С.Т. Алгебра і теорія чисел. К., 1983

2. Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.И. Алгебра и теория чисел. К.-1977. ч.1.

3. Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії.//Діскант В.І.,
Береза Л.Р.,Грижун О.П., Захаренко Л.М. – К: Вища школа. – 2001.

4. Крутицкая Н.И., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах.М.-1975

5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.- 1971

6. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.-1975

7. Нечаев В.А. Задачник-практикум по алгебре. Гуппы, кольца, поля. М.- 1983

8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.

М.-1965

9. Фадєєв Д.К. Сомінський І.С. Збірник задач з вищої алгебри

М.-1971

10. Linear Algebra and its applications. Gilbert Strang. Massachusetts Institute of Technology.

 

 


Зміст

Розділ 1. Векторні простори та системи лінійних рівнянь. 3

§1. Вектори. Дії над векторами. 3

§2. Поняття системи лінійних рівнянь і її розвязків. 4

§3. Елементарні перетворення. 7

§4. Векторні простори.Арифметичний n-мірний векторний простір. 10

§5. Лінійна залежність векторів. 13

§6. Базис і ранг скінченної системи векторів векторного простору. 15

§7. Однорідні системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків однорідної системи. 17

§8. Зв’язок між розв’язками неоднорідних і однорідних систем. 20

§9. Лінійний многовид. 22

Розділ 2. Матриці та дії над матрицями. 23

§1. Матриці. 23

§2. Дії з матрицями. 25

§3. Частинні випадки множення матриць. 28

§4. Обернена матриця. 31

§5. Ранг матриці. 32

§ 6. Матрична форма системи лінійних рівнянь. 34

Розділ 3. Визначники. 39

§1. Детермінант (визначник) квадратної матриці. Детермінант другого
порядку. 39

§2. Алгебраїчне доповнення елемента. 41

§3. Детермінант n-го порядку. 43

§4. Деякі застосування визначників. Обчислення рангу матриці. 48

§5. Обчислення оберненої матриці. 49

Розділ 4. Підпростори векторних просторів. 51

§1. Лінійна оболонка системи векторів. 51

§2. Переріз і сума підпросторів. 51

§3. Пряма сума підпросторів. 54

Розділ 5. Евклідові простори. 55

§1. Скалярний добуток та евклідові простори. 55

§2. Довжина вектора. Кут між векторами. 56

§3. Ортогональний базис. 57

§4. Ортонормований базис. 58

§5. Ортогональне доповнення підпростору. 58

Розділ 6. Лінійні оператори векторного простору. 65

§1. Лінійні оператори і їх матриці. 65

§2. Способи задання лінійного оператора. 66

§3. Зв’язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах. 68

§4. Операції над лінійними операторами. 69

§5. Область значень і ядро лінійного оператора. Ранг і дефект лінійного оператора. 70

§6. Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора. 71

§7. Характеристичне рівняння лінійного оператора. 72

§8. Лінійний оператор з простим спектром. 73

Розділ 7. Цікаві розклади матриць та їх застосування для розв’язування систем лінійних рівнянь. 84

§1. Трикутний розклад і зміна рядків. 84

§2. Зміна рядків. Перестановочна матриця. 87

§3. Прямокутні матриці з ортонормованими стовпцями.
Процес Грамма-Шмідта. 88

§4. Розклад А=QR.. 89

§5. Інші цікаві розклади матриць. 93

§6. Задачі 97

Список використаних джерел. 111

 









Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. Обратная связь