Операції над лінійними операторами.

Означення.Оператор S, який кожному вектору х є Vn ставить у відповідність вектор хА+хВ, називається сумою операторів А і В і позначається S=A+B. Це означає, що

"x є Vn (хSА+хВ ) .

Сума лінійних операторів є лінійним оператором.

Властивості додавання лінійних операторів:

1) Асоціативність " А,В,С ((А+В)+С=А+(В+С));

2) Комутативність " А,В (А+В=В+А);

3) Нульовий оператор О відіграє роль нуля, тобто " А (А+О=О+А=А);

4) Протилежний оператор –А: " А (А+()=()+А=О).

Отже, множина Vn* всіх лінійних операторів простору Vn з введеною на ній операцією додавання є адитивною абелевою групою.

Означення.Добутком лінійних операторів А і В називається оператор D, який визначається формулою

" х є Vn (xD=(xA)B) і позначається D=AB.

Ця операція складається з послідовної дії операторів А і В. Операція множення лінійних операторів асоціативна

" А,В,С ((АВ)С=А(ВС)) .

В множині операторів виконуються дистрибутивні закони:

" А,В,С ((А+В)С=АС+ВС)

" А,В,С (С(А+В)=СА+СВ).

Отже, множина Vn* є кільцем.

Означення.Добутком лінійного оператора А на число k називається оператор В, який визначається формулою

" х є Vn k є Р (хВ=kxA)

і позначається В=kA.

Добуток лінійного оператора А на число k є лінійним оператором.

Властивості :

1) "А (1А=А);

2) "k,m є Р "A (k(mA)=(km)A);

3) "k,m є P "A ((k+m)A=kA+mA);

4) "k є P "A,B (k(A+B)=kA+kB).

Отже, множина Vn* всіх лінійних операторів є лінійним простором Vn над полем Р, утворює лінійну алгебру і векторний простір.

Теорема 5. Алгебра Vn* лінійних операторів n-мірного векторного простору Vn над полем Р ізоморфна алгебрі Мn матриць n-го порядку над полем Р :

1) матриця суми лінійних операторів в довільно вибраному базисі дорівнює сумі матриць доданків в тому ж базисі;

2) матрця добутку лінійних операторів в довільно вибраному базисі дорівнює добутку матриць-співмножників в тому ж базисі;

3) матриця добутку kA лінійного оператора А на деяке число k в довільно вибраному базисі дорівнює добутку матриці оператора А в тому ж базисі на число k.

§5. Область значень і ядро лінійного оператора.
Ранг і дефект лінійного оператора.

Теорема 6.Образ будь-якого лінійного підпростору U простору Vn відносно довільного лінійного оператора А також є лінійним підпростором простору Vn.

Означення.Сукупність образів всіх векторів простору Vn називається областю значень лінійного оператора А і позначається ІmA.

Область значень ImA є лінійним підпростором простору Vn.

Означення.Розмірність області значень ImА називають рангом лінійного оператора А і позначають RangA.

Теорема 7. Ранг будь-якого лінійного оператора простору Vn дорівнює рангу матриці цього оператора в довільно вибраному базисі

dim(ImA)=r(A).

Означення.Ядром лінійного оператора А простору V називається сукупність всіх векторів цьoго простору, які відображаються оператором А в нульовий вектор q і позначається KerA.

KerA={xêx є V, xA=q}ÌV

KerA є лінійним підпростором простору V.

Означення.Розмірність ядра оператораназивається дефектом цього оператора і позначається dim(KerA).



Теорема 3. Сума рангу і дефекта будь-якого лінійного оператора А простору V дорівнює розмірності n цього простору.

dim(ImA)+dim(KerA)=dimV

 

 

Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора.

Означення.Підпростір U лінійного простору Vn називається інваріантним відносно оператора А, якщо UAÍU, тобто якщо образ хА довільного вектора х з U міститься в U.

Приклади.

1) V- довільний векторний простір. Кожний підпростір простору V інваріантний відносно тотожнього оператора Е і нульового

оператора О.

2) V- довільний векторний простір, А – лінійний оператор у просторі V. Область значень VA і ядро KerA оператора А інваріантні підпростори відносно оператора А.

Означення.Вектор а ¹ 0, який задовольняє умові аА = lа, де l є Р, називається власним вектором оператора А, а число l - власним значенням оператора А, яке відповідає власному вектору а.

Теорема 9. Власні вектори а12,…,аm лінійного оператора А, яким відповідають попарно різні власні значення l1,l2,…,lm утворюють лінійно незалежну систему.

 

 

§7. Характеристичне рівняння лінійного оператора.

Нехай А=(аij) – деяка матриця n-го порядку над полем Р.

Е – одинична матриця порядку n, l - деяке невідоме, тоді матриця А-lЕ називається характеристичною матрицею матриці А.

А =

Визначник êА-lЕ ê є многочленом n-го степеня від l.

Рівняння êА-lЕ ê=0 називається характеристичним рівнянням матриці А, а його корені називаються характеристичнимим коренями цієї матриці.

Лема. Характеристичні рівняння і характеристичні корені подібних матриць однакові.

Нехай А є лінійним оператором n-мірного простору Vn, а А – матриця цього лінійного оператора в довільно вибраному базисі {e1,e2,…,en}.

Характеристичне рівняння êА-lЕ ê=0 матриці А називається характеристичним рівнянням оператора А, а його корені - характеристичними коренями оператора А.

Означення.Весь набір характеристичних коренів оператора А називається спектром лінійного опереатора А.

Лінійний оператор А в n-мірному просторі V над полем Р має простий спектр, якщо в полі Р існує n різних характеристичних коренів цього оператора.

Теорема 10. Для того, щоб число k є Р було власним значенням лінійного оператора А, необхідно і достатньо, щоб воно було характеристичним коренем.

 

 









Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. Обратная связь