Алгебраїчне доповнення елемента.


Нехай дана квадратна матриця n-го порядку

A =

Означення.Мінором (n-1)-го порядку М квадратної матриці А n-го порядку називається детермінант матриці (n-1)-го порядку, який утворений з матриці А викресленням i-го рядка та j-го стовпчика.

Матриця А n-го порядку має n2 мінорів (n-1)-го порядку.

Означення.Алгебраїчним доповненням елемента аij квадратної матриці А n-го порядку називається мінор Мij матриці А, помножений на (-1)i+j, тобто Аij=(-1)i+jМij

Приклад 1.

Обчислити всі мінори і алгебраїчні доповнення 2-го порядку визначника

M11 = = -3 M21 = = -1 M31 = = 7

M12 = = -3 M22 = =-1 M32 = = 5

M13 = = -1 M23 = = -1 M33 = = 1

A11 = -3, A12 = 3, A13 = -1,

A21 = 1, A22 = -1, A23 = 1,

A31 = 7, A32 = -5, A33 = 1.

Лема. Детермінант D, в якого всі елементи i-го рядка (або j-го стовпця), крім елемента аij, дорівнюють нулю, дорівнює добутку елемента аij на його алгебраїчне доповнення, тобто D=аijАij.

Теорема. Визначник D=ïаijï n-го порядку дорівнює сумі всіх попарних добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення, тобто

D=аi1Аi1+…+аinАin,

D=а1jА1j+…+аjnАj1

Перша з них – це розклад детермінанта за елементами i-го рядка, друга – розклад детермінанта за елементами j-го стовпця.

Наслідок. Детермінант квадратної матриці n-го порядку дорівнює нулю, якщо всі мінори (n-1)–го порядку дорівнюють нулю.

Теорема. Сума всіх попарних добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) цього визначника дорівнює нулю.

Наслідок. a1jА1m+…+аnjАnm=0 (j¹m)

ai1Ak1+…+ainAkn=0 (i¹k).

Приклад 2.

Обчислити детермінант

1 спосіб. Розкладемо детермінант за елементами першого стовпчика

D= = 3(-1)2 + 1(-1)3 +

+ 5(-1)4 + 4(-1)5 =

=3(-28+120-24-140-36-16)-(56+240-42-245-72+32)+5(24+120+14-
-105+24+16)-4(96+144-98-126+96-112)=-372+31+465=124.

2 спосіб. За допомогою елемента a21 = 1 обнулимо всі інші елементи першого стовпчика і для обчислення використаємо лему

D= = 1(-1)3 =

= -(1120+468+1040-520--672-1560)=124.

 

 

Детермінант n-го порядку.

Означення.Детермінантом n-го порядку квадратної матриці називається алгебраїчна сума n! членів (доданків), кожен з яких є добутком n елементів, взятих з різних рядків і з різних стовпчиків, причому цей добуток береться із знаком плюс, якщо перестановка, утворена з других індексів (при умові, що перші йдуть по порядку), парна, і з протилежним знаком, якщо ця перестановка непарна.

Використовуючи вище сказане, пояснимо знаки доданка а13а21а32 та а12а21а33.

Розташуємо перші індекси по порядку, а з других утворимо перестановку 3,1,2 та 2,1,3 відповідно. Перша перестановка є парною, тому знак доданка а13а21а32 плюс, а друга – непарна, тому знак доданка а12а21а33 – мінус.

Властивості детермінанта n-го порядку :

1) Якщо в детермінанті є нульовий рядок, то детермінант дорівнює нулю.

2) Перестановка рядків (стовпчиків) змінює знак детермінанта.

3) Якщо в детермінанті є два однакові рядки, то детермінант дорівнює нулю.

4) Спільний множник k з одного рядка (стовпчика) можна винести за знак детермінанта.

5) Якщо в детермінанті якийсь рядок є сумою двох рядків, то

6) Якщо в детермінанті є два пропорційні рядки (стовпчики), то детермінант дорівнює нулю.

7) Якщо в детермінанті k-ий рядок домножити на число р≠0 і додати його до m-го рядка, то детермінант не зміниться.

8) Детермінант не змінюється при транспонуванні.

Транспонування – перехід від даного детермінанта до нового, одержаного з даного за таким правилом : всі рядки детермінанта записуються відповідними стовпчиками в новому детермінанті.

9) =(-1)1+iMi1ak1+…+(-1)i+nMinakn = =ak1Ai1+ak2Ai2+aknAin = 0

Сума добутків елементів рядка на чужі алгебраїчні доповнення дорівнює нулю.

Сума добутків елементів рядка на свої алгебраїчні доповнення дорівнює детермінанту.

Приклад.

1) Розв’язати систему рівнянь методом Крамера:

А = В =

D = = -20-40-54+40+24+45 = -5

D1 = = 36-28-54+28-81+24 = -75 х1 = -75/(-5) = 15

D2 = = 30-90+42-60+54-35 = -59 x2 = -59/(-5) = 59/5

D3 = = -70+243-120-180+84+135 = 92 x3 = 92/(-5)= = -92/5

Розв’язок х=(15,59/5,92/5).

2) Розв’язати систему рівнянь методом Крамера:

D = = -4-8-5+4+8+5 = 0

D1 = = -4-12-10+6+16+5 = 1

D2 = = -4-2-3+4+2+3 = 0

D3 = = 6+16+5-4-12-10 = 1

Система несумісна.

3) Розв’язати систему рівнянь методом Крамера:

D = = -48-6-45+12+15+72 = 0

D1 = = -24-6-27+12+9+36 = 0

D2 = = 36+12+15-9-30-24 = 0

D3 = = -16-3-30+8+5+36 = 0

Систему методом Крамера розв’язати не можна. Складемо розширену матрицю системи і зведемо її до діагонального виду.

Загальний розв’язок х=( , , x3), x3 є R.

 

 

§4. Деякі застосування визначників.
Обчислення рангу матриці.

Теорема 1. Для того, щоб детермінант квадратної матриці дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб ранг цієї матриці був менший її порядку.

Наслідок 1. Детермінант дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його рядки (стовпці) утворюють лінійно залежну систему векторів.

Наслідок 2. Квадратна матриця є особливою тоді і тільки тоді, коли її детермінант дорівнює нулю.

Наслідок 3. Добуток двох неособливих матриць – неособлива матриця. Добуток двох матриць, хоча б одна з яких особлива, - особлива матриця.

Нехай дана прямокутна матриця А =

Теорема. (про ранг матриці) Для того, щоб ранг матриці дорівнював r, необхідно і достатньо, щоб серед мінорів матриці знайшовся хоча б один мінор r-го порядку, відмінний від нуля, а всі його мінори (r+1)-го порядку дорівнювали нулю.

Означення.Рангом матриці називається найвищий порядок мінорів цієї матриці, відмінних від нуля.

Приклад.Обчислити ранг матриці методом окантування мінорів :

А =

М1 ¹ 0

M2 = = -16+5 = -11

M3 = = -48-6-45+12+72+15 = 0

M3 = = 0

M3 = = -16-2-15+4+5+24 = 0

M3 = = 2(-1)6 = -22 ¹ 0

M4 = = 2 = 0 r(A) = 3

Перевірка :

r(A) = 3

 

 









Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. Обратная связь