Ортогональне доповнення підпростору.


Нехай U – деякий підпростір евклідового простору Еn.

Означення.Вектор а простору Еn називається ортогональним підпростору U (записують а ^U), якщо він ортогональний довільному вектору цього підпростору.

Теорема 10. Для того, щоб вектор а був ортогональний підпростору U достатньо, щоб він був ортогональний кожному вектору деякого базиса цього підпростору.

Означення.Підпростори U i V простору Е називаються ортогональними і позначають U^V, якщо кожний вектор u є U ортогональний кожному вектору v є V.

Теорема 11. Для того, щоб підпростори U i V простору Е були ортогональними достатньо, щоб кожний вектор деякого базиса підпростору U був ортогональний кожному вектору деякого базиса підпростору V.

Означення.Підпростір U^ всіх векторів простору Е, ортогональних підпростору U, називається ортогональним доповненням підпростору U.

Теорема 12. Евклідів простір Еn є прямою сумою кожного свого підпростору U і його ортогонального доповнення U^:

Еn=UÅ U^.

Наслідок. DimEn=dimU+dim U^.

Приклад.

1) Ортогоналізувати систему векторів:

b1=(1,2,3,4), b2=(0,5,0,5), b3=(8,10,-8,14)

Процес ортогоналізації застосовується лише до лінійно незалежної системи векторів, тому перевіримо дану систему на лінійну залежність склавши матрицю з координат даних векторів і знайдемо її ранг.

A = r(A)=3

Отже, вектори b1,b2,b3 утворюють лінійно незалежну систему векторів. За перший вектор с1 ортогональної системи візьмемо вектор b1:

с1=b1=(1,2,3,4).

Далі шукатимемо вектор с2 у формі лінійної комбінації векторів с1 і b2:

с2=lc1+b2.

Оскільки вектор c2 повинен бути ортогональним до с1, то

12)=(с1,lс1+b2)=l(c1,c1)+(c1,b2)=0 =>

=> l=-(c1,b2)/(c1,c1)=-(1*0+2*5+3*0+4*5)/(1+4+9+16)=-1

Отже, с2=-с1+b1=(-1,3,-3,1).

Вектор с3 шукатимемо у формі лінійної комбінації векторів с12 і b3:

с3=g1c1+g2с2+b3.

Оскільки вектор с3 повинен бути ортогональним до с12, то

13)=(c1,g1c1+g2с2+b3)=g1(c1,c1)+g2(c1,c2)+(c1,b3)=

=g1(c1,c1)+(c1,b3)=0

23)=(c2,g1c1+g2с2+b3)=g1(c2,c1)+g2(c2,c2)+(c2,b3)=

=g2(c2,c2)+(c2,b3)=0.

Звідки g1=-(с1,b3)/(c1,c1) i g2=-(с2,b3)/(c2,c2)

g1=-(1*8+2*10-3*8+4*14)/(1+4+9+16)=-2

g2=-(-1*8+3*10+3*8+1*14)/(1+9+9+1)=-3

Отже, с3=-2с1-3с2+b3=-2(1,2,3,4)-3(-1,3,-3,1)+(8,10,-8,14)= (9,-3,-5,3)

Одержали ортогональну систему:

с1=(1,2,3,4), c2=(-1,3,-3,1), c3=(9,-3,-5,3).

2)Перевірити чи будуть вектори а1=(1,-2.2,-3) і а2=(2,-3,2,4) ортогональні, і якщо так, то доповнити систему цих векторів до ортогонального базису простору, в якому вони розглядаються. Перейти від знайденого базису до ортонормованого.

Оскільки (а12)=1*2+(-2)*(-3)+2*2-3*4=0, то вектори а12 ортогональні. Знайдемо тепер такий вектор

х=(х1234) є Е, що (а1,х)=(а2,х)=0.

Звідси одержимо СЛОР:

Загальний розв’язок системи (2х3-14х4,2х3-10х434),x3,x4єR

Фундаментальна система розв’язків

{(2,2,1,0),(-17,-10,0,1)}={x¢,x¢¢}.

Вектори x¢,x¢¢ фундаментальної системи розв’язків ортогональні до векторів а12 (їх знайдено з цієї умови). Якби ще вектори фундаментальної системи були ортогональними, то система векторів а12, x¢,x¢¢ була б ортогональним базисом простору Е4 і залишилося б тільки пронормувати його. Але (x¢,x¢¢)¹0 і тому ортогоналізуємо спочатку систему векторів x¢,x¢¢.

Згідно процесу ортогоналізації маємо

с11, с2=lс1+b2,

де l=-(с1, x¢¢)/(c1,c1)=-(34-20)/9=6.

Тоді с2=6с1+x¢¢=(-5,2,6,1).

Отже, система векторів є ортогональною системою ненульових векторів. Оскільки кількість елементів цієї системи дорівнює розмірності всього простору Е4,

то а1212 – ортогональний базис простору Е4. Для перетворення його в ортонормований треба кожен з векторів, що входить до базису, розділити на його норму. Знайдемо

úúа2êê = = , úúа2êê= , úúс1êê=3, úúс2êê= .

Тоді = =

- ортонормований базис.

3)Знайти ортонормовану фундаментальну систему розв’язків для системи рівнянь :

Загальний розв’язок х=(2х2+2/7х42,-5/7х44),x4 є R.

 

X1 X2 X3 X4
-4 -25 -35

 

ФСР : (2,1,0,0), (2,-4,-25,-35)

Ортогоналізуємо систему:

b1=a1=(2,1,0,0)

b2=lb2+a2 => (b1,b2)=l(b1,b1)+(b1,a2) =>

l=-(b1,a2)/(b1,b1)=-(2*2-1*4+0*0)/(4+1+0+0)=0

b2=a2=(2,-4,-25,-35)

úúb1êê= úúb2êê=

Отже, ортонормована фундаментальна система розв’язків : 1/ (2,1,0,0), 1/ (2,-4,-25,-35).

4)При яких значеннях параметра l вектори а1=(0,1,l), а2=(1,-1,1), а3=(-2,-1,l) утворюють ортогональний базис простору R.

Для того, щоб вектори утворювали ортогональний базис потрібно, щоб (аij) = 0.

12) = 0-1+l = 0

13) = 0-1+l2 = 0

23) = -2+1+l = 0

Отже, l = 1

5)В евклідовому просторі F3 многочленів степеня не більше 2 над полем R зі скалярним добутком, заданим рівністю (f,g) = ,задані вектори f1,f2,f3. Ортогоналізувати базис f1 = 1, f2 = (2х-1),

f3 = (6х2-6x+1). Знайти координати a1,a1,a3,b1,b2,b3 многочленів

j1(х) = 1+2х, j2(х) = 1-5х+6х2 в цьому базисі і обчислити їх скалярний добуток двома способами:

(j1,j2) = , (j1,j2) = a1b1+a2b2+a3b3

1. g1(x) = f1 = 1

g2(x) = lf1+f2 =l+ (2x-1)

(g1,g 2) = 0

l = -(g1,f2)/(f2,f2)= - =- = 0

g2(x) = (2x-1)

2. a) j1 = af1+bf2+cf3

1+2x = a+b (2x-1)+c (6x2-6x+1)

j 1= 2f1+ f2+0*f3

b) j2 ==af1+bf2+cf2

1-5x+6x2 = a+ (2x-1)+ c(6x2-6x+1)

j2 = 1/2f1+ /6f2+ /5f3

3. (j1,j2) = (1+2x)(1-5x+6x2)dx =

= =

= =

= = 1-3/2-4/3+3 = 7/6

(j1,j2) = 2*1/2+ /3* /6+0* /5 = 1+1/6 = 7/6
6)Знайти ортогональну проекцію а і ортогональну складову b вектора v відносно підпростору L, породженого векторами а123, якщо

а1 = (2,1,-4), a2 = (3,5,-7), a3 = (4,-5,-6), v = (-12,9,-12).

Знайдемо базис L:

Базис складається з векторів а12. Ортогоналізуємо цей базис :

b1 = a1 = (2,1,-4)

b2 = a2-b1(a2,b1)/(b1,b1) = a2-b1(6+5+28)/(4+1+16) =a2-13/7b1 =

= (3,5,-7)-13/7(2,1,-4) = 1/7(-5,22,3)

Знайдемо ортогональну проекцію а даного вектора v на L :

а = (v,b1)/(b1,b1)b1+(v,b2)/(b2,b2)b2 =

= (-24+9+48)/(4+1+16)b1+(12*5/7+9*22/7-2*3/7):(25/49+484/49+9/7)b2 = =11/7(2,1,-4)+3/7(-5,22,3) = (1,11,-5).

Знайдемо ортогональну складову b вектора v відносно L :

b = v-a = (-12,9,-12)-(1,11,-5) = (-13,-2,-7).

 









Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. Обратная связь