Т.6. Топологические методы расчета электрических цепей

 

1.Топологические определения схемы

 

С появлением ЭВМ и их широким применением для решения сложных математических задач были разработаны специальные топологические рас­чёта сложных электрических цепей, графов и матриц.

Схема сложной электрической цепи (рис. 83а) может быть заменена (представ­лена) направленным графом (рис. 83б) с соблюдением следующих условий:

1)узлы графа соответствуют узлам схемы;

2)ветви графа соответствуют ветвям схемы;

3) направление ветвей соответствует направлению токов в ветвях схемы.

 

 

 

Любая часть графа называется подграфом. Минимальный связанный подграф, соединяющий все узлы графа и не образующий контуров, называ­ется деревом графа (на схеме графа обозначается жирной линией). Для кон­кретного графа может быть составлено определенное множество вариантов деревьев, но в расчете схемы принимается любой из вариантов. Ветви графа, не входящие в его дерево, называются связями или хордами.

Структура графа и соответственно структура электрической схемы может быть описана с помощью топологических матриц или матриц соеди­нения. Таких матриц несколько, для расчета электрических цепей исполь­зу­ются две основные: - матрица соединений «узлы-ветви» и - мат­рица соединений «контуры-ветви».

В общем случае сложная схема содержит «m» ветвей и «n» узлов, при этом максимальное число ветвей зависит от числа узлов: .

Составим таблицу соединений «узлы-ветви» руководствуясь следую­щими правилами:

1 – ветвь выходит из узла,

-1 – ветвь входит в узел,

0 – отсутствие связи с узлом.

 

 

Т а б л и ц а 1

 

№ узла \ № ветви
		-1
	-1		-1
						-1
				-1	-1

 

Так как каждая ветвь имеет только один вход (-1) и один выход (+1), то сумма чисел по вертикали для любого столбца равна нулю. Из этого сле­дует, что независимыми являются только 3 из 4 строк таблицы. Матрица со­единений «узлы-ветви» (табл. 2) получается из приведенной выше таб­лицы путем вычеркивания любой строки (например, строки №4):

 

Т а б л и ц а 2

 

№ узла \ № ветви
		-1
	-1		-1
						-1

 

Размерность матрицы соединений «узлы-ветви» равна , где n -1 – число независимых узлов, m – число ветвей.

Независимыми называются контуры графа, образованные одной из хорд и ветвями дерева. Число независимых контуров соответствующих числу хорд графа: , контуры нумеруются по номеру хорды (1, 2, 3). Направление обхода контура принимается по направлению хорды, ко­торая входит в состав этого контура.

Составим таблицу соединений «контуры-ветви», руководствуясь сле­дующими правилами:

1 – направление ветви совпадает с направлением обхода контура,

-1 – направление ветви не совпадает с направлением обхода контура,

0 - ветвь не входит в контур.

Т а б л и ц а 3

 

№ контура \ № ветви
				-1

 

 

Данная таблица получила название матрицы соединений - «контуры-ветви».Размерность матрицы соединений равна , где – число независимых контуров, m – число ветвей.

Если матрицы соединений и составлены верно, то должно вы­полняться условие: .

 

 

2. Уравнения Ома и Кирхгофа в матричной форме

 

Если в исследуемой сложной схеме содержатся параллельно вклю­ченные ветви, то для составления матриц соединений такие ветви необхо­димо заменить (объединить) одной эквивалентной ветвью.

В общем случае любая ветвь схемы кроме комплексного сопротивле­ния (проводимости) может содержать источник ЭДС Е _к, источник тока J _к. Схема и граф обобщенной ветви показаны на рис. 1а, б:

 

 

 

Ток ветви I _к, напряжение ветви U _к = j ₁ - j ₂.

Из потенциального уравнения ветви сле­дуют:

- уравнения Ома для к -ой ветви.

 

Для всех «m» ветвей составим систему уравнений по этой форме:

 

 

Заменим полученную систему из «m» уравнений матричной формой. Для этой цели введем следующие обозначения матриц:

 

	- столбцовые матрицы соответственно напряжений, токов, источников тока и источников ЭДС.

 

 

;

 

Уравнения Ома в матричной форме получат вид:

 

 

Уравнения Кирхгофа в обычной форме имеют вид: - первый закон Кирхгофа для узлов, - второй закон Кирхгофа для контуров.

Система уравнений Кирхгофа в матричной форме получается через матрицы соединений и :

 

Составленная система уравнений содержит “ m ” неизвестных токов и “ m ” неизвестных напряжений, всего 2“ m ” неизвестных, и непосредственно не может быть решена.

- “ m ” уравнений Кирхгофа для токов в матричной форме.

Сделаем подстановку матрицы из матричных уравнений закона Ома, получим:

 

Для сравнения приведем те же уравнения в обычной форме:

- “ m ” уравнений Кирхгофа для напряжений в матричной форме.

Сделаем подстановку матрицы из матричного уравнения закона Ома, получим:

 

 

Для сравнения приведем те же уравнения в обычной форме: