ТЕМА 4.3. Удельная энергия сечения и критическая глубина

• В случае неравномерного установившегося движения жидкости в открытом канале средняя скорость V и глубина h потока изменяются вдоль движения, но не изменяются в любом сечении со временем.

• Удельная энергия сечения – это удельная энергия относительно плоскости сравнения, проведенной через наиболее низкую точку сечения:

. (4.3.1)

 

Рис. 4.3.1. Зависимость удельной энергии сечения от глубины потока.

 

• Критическая глубина h _cr – это глубина, при которой удельная энергия Θ сечения достигает минимального значения (рис. 4.3.1). При этом

, (4.3.2)

где , – соответственно площадь сечения и ширина потока поверху при . Критическую глубину находят подбором. Вначале вычисляем значение . Затем для трёх значений h находим значения . Наносим полученные значения на график зависимость от h (рис. 4.3.2) и соединяем полученные точки плавной кривой. На пересечении этой кривой с прямой получаем значение критической глубины h _cr.

• Для русла прямоугольного сечения . Критическая глубина для русла прямоугольного сечения

. (4.3.3)

• Для трапецеидального сечения можно найти значение вспомогательной функции

. (4.3.4)

Потом по этому значению находят из графика рис. 4.3.3 вспомогательный параметр , по которому вычисляют критическую глубину:

. (4.3.5)

 

Рис. 4.3.2. Нахождение критической глубины подбором.

 

Рис. 4.3.3. График для нахождения критической глубины в русле трапецеидального сечения.

 

Пример 4.3.1. Найти критическую глубину h _cr, если ширина канала по дну b = 1,5 м, коэффициент заложения откосов m = 1, коэффициент шероховатости n = 0,017, расход Q = 5 м³/с.

Решение. Вычисляем критическую глубину для русла прямоугольного сечения

1,076 м.

Находим вспомогательную функцию

0,717.

Из графика рис. 4.3.3 0,55.

Критическая глубина

0,83 м.

Решение той же задачи методом подбора в MS Excel показано на рис. 4.3.4. Получено значение h _cr = 0,879 м.

 

Содержимое ячеек: G2=E2*D2*D2/F2 B5=($A2+$B2*B4)*B4 B6=$A2+2*$B2*B4 B7=B5*B5*B5/B6

Рис. 4.3.4. Решение примера 4.3.1 в MS Excel.

 

• Для русел треугольного сечения B = 2mh, ω = mh ². Критическая глубина для русел треугольного сечения

. (4.3.6)

 

Пример 4.3.2. Построить график удельной энергии сечения и определить состояние потока (рис. 4.3.5). Расход Q = 0,8 м³/с, нормальная глубина h ₀ = 0,4 м, коэффициенты заложения откосов m ₁ = 1,0, m ₂ = 1,5, ширина русла по дну b = 0.

Решение. Средний коэффициент заложения откосов

m = (m ₁ + m ₂)/2 = 1,25.

 

Рис. 4.3.5. Русло треугольного сечения.

 

Критическая глубина

0,616 м.

Поток бурный, так как h ₀ < h _cr.

Решение примера 4.3.2 в MS Excel приведено на рис. 4.3.6.

 

Содержимое ячеек: B2=A2 C2=F$2*A2*A2 D2=G$2*I$2*I$2/2/H$2/C2/C2 E2=A2+D2

Рис. 4.3.6. Решение примера 4.3.2 в MS Excel.

 

 

• Для безнапорных труб круглого сечения рассчитывают расходный параметр

. (4.3.7)

Потом по этому значению находят из графика рис. 4.3.7 значение и вычисляют критическую глубину:

. (4.3.8)

 

Рис. 4.3.7. График для нахождения критической глубины в трубе.

• При вычислениях с использованием MSExcel

при ; (4.3.9 а)

при . (4.3.9 б)

 

Пример 4.3.3. Найти нормальное и критическое наполнение для трубы дождевой канализации диаметром D = 600 мм при расчётном расходе Q = 430 л/с и уклоне земли i = 0,0085.

Решение. Коэффициент шероховатости канализационных труб n = 0,013.

Гидравлический радиус при наполнении доверху

0,15 м,

площадь живого сечения

0,283 м²,

показатель степени в формуле скоростной характеристики

0,65,

скоростная характеристика при наполнении доверху

22,4 м/с,

расходная характеристика при наполнении доверху

6,33 м³/с,

относительная расходная характеристика

0,737.

Из графика “рыбка” (рис. 4.2.2) нормальное наполнение 1,40.

Расходный параметр

Из графика рис. 4.3.8 находим критическое наполнение

.

Состояние потока спокойное, так как нормальное наполнение 1,40 больше критического .

0,3·1,25 = 0,375 м.

 

• Критическую глубину для русла трапецеидального сечения рассчитать проще, чем нормальную. Поэтому иногда целесообразно находить нормальную глубину с помощью показательного закона.

• Показательный закон: для двух произвольных значений глубин и и соответствующих расходных характеристик K ₁ и K ₂ имеет вид:

, (4.3.10)

где x – гидравлический показатель русла, значения которого для трапецеидального и круглого сечений приведены на графике рис. 4.3.8. Для треугольных русел x = 5,4.

• Как это можно видеть на рис. 4.3.8, в каналах замкнутого сечения гидравлический показатель русла существенно изменяется уже при сравнительно небольших заполнениях. Это же касается и каналов сложенного профиля (рис. 4.3.9). Поэтому для таких каналов показательный закон при расчётах не применяется.

 

Рис. 4.3.8. Гидравлический показатель русла.

 

Рис. 4.3.9. Канал сложенного профиля.

Пример 4.3.4. Рассчитать нормальную глубину в водоотводной канаве, если расход Q = 1,0 м³/с, коэффициент заложения откосов m = 0, ширина русла по дну b = 1 м, уклон дна ступени i = 0,0033, коэффициент шероховатости n = 0,017.

Решение. Критическая глубина для канала прямоугольного сечения

0,48 м.

Площадь живого сечения 0,48 м².

Смоченный периметр 1,96 м.

Гидравлический радиус R = ω / χ = 0,48/1,96 = 0,245 м.

Показатель степени в формуле скоростной характеристики

.

Скоростная характеристика

22,4 м/с.

Расходная характеристика для критической глубины

10,8 м³/с.

По значениям m = 0 и h _cr/ b = 0,48/1 = 0,48 из графика рис. 4.3.9 находим гидравлический показатель русла x = 2,7.

Расходная характеристика для сечения с нормальной глубиной

17,4 м³/с.

Нормальная глубина

0,683 м.

Решение той же задачи методом подбора с использованием MS Excel показано на рис. 4.3.10. Получаем h ₀ = 0,69 м.

 

• Состояние потока (бурное или спокойное) можно определить, вычислив параметр кинетичности

. (4.3.11)

Поток бурный, если (тогда ), и спокойный, если (тогда ).

• В случае прямоугольного сечения параметр кинетичности называется числом Фруда, которое представляет собой отношение удвоенной удельной кинетической энергии к удельной потенциальной энергии (глубине) в данном сечении:

. (4.3.12)

• Если изменять уклон i, критическая глубина остается постоянной, а нормальная глубина, изменяясь, может при некотором значении уклона равняться критической. Критический уклон – это такой уклон, при котором критическая глубина равняется нормальной ():

, (4.3.11)

где и – расходные характеристики соответственно для нормальной и критической глубины.

 

Содержимое ячеек: B5 =$C2*B4+$B2*B4*B4 B6 =$C2+2*B4*КОРЕНЬ(1+$B2*$B2) B7 =B5/B6 B8 =0,37+2,5*КОРЕНЬ($E2)-0,75*(КОРЕНЬ($E2)-0,1)*КОРЕНЬ(B7) B9 =СТЕПЕНЬ(B7;B8)/$E2 B10 =B5*B9 B11 =B10*КОРЕНЬ($D2)

Рис. 4.3.10. Решение примера 4.2.2 в MS Excel.

 

• Критический уклон для потока в круглых безнапорных трубах

, (4.3.12)

где – относительная расходная характеристика при критическом наполнении; – относительная расходная характеристика при наполнении, которое соответствует равномерному движению (по графику “рыбка”, рис. 4.2.2) соответственно при и ).

Рис. 4.3.11. Схема расчёта критической и нормальной глубин.