ТЕМА 3.2. Уравнение Бернулли

• Выделим в потоке столь тонкую трубку тока и выберем промежуток времени Δ t столь малый, чтобы всем точкам каждого из малых объёмов Δ W ₁и Δ W ₂можно было приписать одинаковые значения площади живого сечения, скорости, давления и высоты, а именно: ω ₁, u ₁, p ₁, z ₁ для Δ W ₁и ω ₂, u ₂, p ₂, z ₂ для Δ W ₂. Объём Δ W ₁ = ω ₁ u ₁Δ t – это объём между сечением ω ₁ и сечением , в которое переместятся частички жидкости, первоначально пребывавшие в сечении ω ₁. Объём Δ W ₂ = ω ₂ u ₂Δ t. Из уравнения неразрывности ω ₁ u ₁ = ω ₂ u ₂ следует: Δ W ₁ = Δ W ₂ = Δ W. Таким образом, через время Δ t объём жидкости, пребывавшей вначале между сечениями ω ₁ и ω ₂, окажется между сечениями и . Изменение энергии этого объёма равно работе сил давления:

. (3.2.1)

Поскольку сечения взяты произвольно, то, разделив уравнение на ρ Δ Wg, получим уравнение Бернулли для трубки тока:

. (3.2.2)

Рис. 3.2.1. Перемещение элементарного объёма жидкости.

 

гравитационную потенциальную энергию

, (3.2.3)

называемую также гравитационным напором или напором положения.

• Второе слагаемое в уравнении (3.2.2) представляет собой удельную (приходящуюся на единицу веса) потенциальную энергию давления, называемую также напором давления.

• Третье слагаемое в уравнении (3.2.2) представляет собой удельную (приходящуюся на единицу веса) кинетическую энергию

, (3.2.4)

называемую также скоростным напором.

• Суммарный потенциальный напор z + p/γ называется пьезометрическим напором, так как он равен отметке жидкости в пьезометре (см. рис. 2.2.1).

• Сумма пьезометрического и скоростного напора

(3.2.5)

называется полным или гидродинамическим напором.

• Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии: полный напор H ₀, т.е. сумма геометрического напора z и напора давления p/γ, а также скоростного напора (удельной кинетической энергии) u ²/(2 g) идеальной жидкости (несжимаемой жидкости, в которой вязкостью можно пренебречь) есть величина постоянная для разных живых сечений трубки тока:

. (3.2.6)

• Геометрическая трактовка уравнения Бернулли: полный напор H ₀, т.е. сумма геометрической отметки z, пьезометрической высоты p/γ и высоты скоростного напора u ²/(2 g) есть величина постоянная для разных живых сечений.

• Гидродинамическая трубка (трубка Пито) погружается в поток жидкости загнутым концом навстречу течению (рис. 3.2.2). Разность уровней жидкости в гидродинамической трубке и в пьезометре равняется скоростному напору .

• Уравнение Бернулли для реальной жидкости отличается наличием слагаемого h, которое представляет собой потери напора (удельной энергии) на длине l между сечениями:

. (3.2.7)

Линия 3 на рис. 3.2.2 является линией плоскости сравнения.

• Линия 2 на рис. 3.2.2, которая соединяет отметки пьезометров, называется пьезометрической линией, или линией удельной потенциальной энергии, а её уклон пьезометрическим уклоном:

. (3.2.8)

• Линия 1 на рис. 3.2.2, которая соединяет отметки гидродинамических напоров (отметки гидродинамических трубок), называется напорной линией, или линией суммарной удельной энергии, а ее уклон гидравлическим уклоном:

. (3.2.9)

 

Рис. 3.2.2. Графическое изображение членов уравнения Бернулли.

 

• Установившееся движение – это такое движение, при котором скорость и давление в отдельных точках пространства, через которое перетекает жидкость, не изменяется со временем. Установившееся движение может быть равномерным и неравномерным.

• Призматическое русло – это такое русло, форма и размеры которого по длине потока остаются неизменными.

• Равномерное движение – это такое движение, при котором скорость, давление и распределение их по сечению при постоянной форме и размерах живого сечения не изменяются вдоль пути жидкости (примеры: течение воды в круглой трубе или в призматическом канале при постоянной глубине h).

• Основное уравнение равномерного движения жидкости: пьезометрический уклон

, (3.2.10)

где – касательное напряжение на поверхности соприкосновения потока с руслом.

• Плавноизменяющееся движение – это движение, при котором линии тока параллельны или почти параллельны, а кривизна струек незначительна. Следовательно, ускорением можно пренебречь. Уравнение Эйлера для вертикального направления

(3.2.11)

принимает вид:

. (3.2.12)

Интегрируя это уравнение, получаем:

. (3.2.13)

В горизонтальной плоскости

p = const. (3.2.14)

• Уравнение равномерного движения жидкости: вследствие постоянства скорости напорная линия параллельна пьезометрической, и гидравлический уклон равняется пьезометрическому:

. (3.2.15)

• Уравнение равномерного движения в открытых руслах: пьезометрический уклон i_p равняется уклону i поверхности потока и дна русла, а также гидравлическому уклону J:

i = i_p = J. (3.2.16)

• Масса, прошедшая через сечение струйки за единицу времени, dm = ρudω. Энергия, переносимая потоком за единицу времени,

; ,

где α – корректив кинетической энергии (коэффициент Кориолиса), который представляет собой отношение действительной кинетической энергии к кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости, и отражает неравномерность распределения скоростей по сечению:

. (3.2.17)

Для ламинарного течения α = 2, для турбулентного α = 1,1.

• В отсутствие внутреннего трения через любое сечение при равномерном или плавноизменяющемся движении за единицу времени переносится одинаковая энергия

. (3.2.18)

• Отсюда следует уравнение Бернулли для равномерного или плавноизменяющегося движения:

. (3.2.19)

Гидродинамический напор в любом сечении плавноизменяющегося потока идеальной жидкости есть величина постоянная.

• Условия плавноизменяющегося движения должны выполняться вблизи рассматриваемых сечений, между которыми движение может и не быть плавноизменяющимся:

. (3.2.20)

• Уравнение Бернулли для двух сечений реальной жидкости:

, (3.2.21)

где h ₁₂ – потери напора между сечениями 1 и 2.

 

 

Пример 3.2.1. Гидродинамическая трубка (трубка Пито) помещена в потоке жидкости изогнутым концом вдоль оси трубы против течения и работает в комплексе с обычным пьезометром (рис. 3.2.3). Разность уровней воды в трубке Пито и в пьезометре h = 25 мм. Чему равна скорость потока на оси трубы?

Решение. Уравнение Бернулли для сечений 1-1 перед входом в трубку Пито и 2-2 на поверхности воды в пьезометре: . Уравнение записывается для элементарной струйки, поэтому и – местные скорости. В данном случае ; ; ; манометрическое давление на поверхности жидкости в трубке Пито . Тогда . Скоростной напор на входе трубки Пито .

Скорость потока на оси трубы 0,700 м/с.

 

Пример 3.2.2. Определить расход воды Q в трубе диаметром D ₁ = 250 мм, имеющей плавное сужение до диаметра D ₂ = 125 мм, если показания пьезометров: h ₁ = 50 см; в сужении h ₂ = 30 см (рис. 3.2.4).

Решение. Перепад пьезометрического напора: . Из уравнения Бернулли при и в пренебрежении потерями напора получаем . Из уравнения неразрывности имеем .

Площади сечений: 0,0491 м²;

0,0123 м².

Далее ; . Расход , где

0,0563 м^2,5/с.

Расход 0,0252 м³/с = 25,2 л/с.

 

Рис. 3.2.3. Измерение скоростного напора.	Рис. 3.2.4. Расходомер Вентури.

 

Пример 3.2.3. Определить, на какую высоту поднимается вода в трубке, один конец которой присоединён к суженному сечению трубопровода, а другой конец опущен в воду. Расход воды Q = 25 л/с, показание пьезометра перед сужением h ₁ = 5 м, диаметры d ₁ = 100 мм и d ₂ = 50 мм (рис. 3.2.5).

Решение. Из уравнения Бернулли при коррективе кинетической энергии и в пренебрежении потерями напора

.

Учитывая, что и , получаем:

м.

Полученная отрицательная высота – вакуумметрическая высота. На эту высоту h _вак = 2,7 м и поднимется вода в трубке.

 

Рис. 3.2.5. Определение высоты вакуума.

Ньютон – Эйлер – Бернулли

 

Рис. 3.2.6. Связь законов Ньютона, Эйлера и Бернулли.

Рис. 3.2.7. Схема к уравнению Бернулли.

ТЕМА 3.3. Импульс жидкости

• Импульс жидкости, протекающей за единицу времени через поперечное сечение элементарной струйки,

dK = ρudω · u = ρu ² dω. (3.3.1)

Выражая местную скорость u через среднюю V формулой u = V + ε, найдём импульс жидкости, протекающей за единицу времени через поперечное сечение потока:

; .

Второе слагаемое равно нулю:

.

Получаем

.

Выражение в скобках называется коррективом импульса или коэффициентом Буссинеска α ₀.

• Тогда импульс жидкости, протекающей за единицу времени через поперечное сечение потока,

K = α ₀ ρV ² ω = α ₀ ρQV. (3.3.2)

• Таким образом, корректив импульса есть отношение импульса, рассчитанного по местным скоростям, к импульсу, рассчитанному по средней скорости потока:

α ₀ = K/ (ρQV). (3.3.3)

• При обтекании углов за ними возникают водоворотные зоны, на поддержание течений в которых расходуется энергия. При резком расширении горизонтальной трубы (рис. 3.3.1) из уравнения Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 потеря напора

h = (p ₁ – p ₂)/ γ + α (V ₁² – V ₂²)/(2 g).

Изменение импульса жидкости, протекающей за единицу времени через поперечное сечение потока, равно сумме сил, действующих на объём жидкости между сечениями,

α ₀ ρQ (V ₂ – V ₁) = p ₁ ω ₂ – p ₂ ω ₂,

Так как α ₀ ≈ α, то

p ₁ – p ₂ ≈ αρV ₂(V ₂ – V ₁).

Потеря напора

. (3.3.4)

Получена Формула Вейсбаха

, (3.3.5)

где ζ – коэффициент местного сопротивления, для резкого расширения трубы даваемый формулой Бордá:

. (3.3.6)

 

Пример 3.3.1. Горизонтальная труба диаметром D ₁ = 0,10 м внезапно переходит в трубу диаметром D ₂ = 0,15 м. Проходящий расход воды Q = 0,03 м³/с. Определить потери напора h при внезапном расширении трубы и разность давлений Δ p в обеих трубах.

 

Рис. 3.3.1. Эпюры скоростей при внезапном расширении трубы.

 

Решение. Коэффициент местного сопротивления

= 1,56.

Площади сечений труб:

= 0,00785 м²;

= 0,01767 м².

Скорости:

= 3,82 м/с;

= 1,698 м/с.

Потери напора

= 0,229 м.

Из уравнения Бернулли разность давлений

= 4190 Па.