ТЕМА 3.1. Уравнение неразрывности. Режимы течения

• Траектория – линия, вдоль которой движется материальная частица.

• Линия тока – линия, касательная к которой в каждой точке и в данный момент времени совпадает с направлением вектора местной скорости .

• Трубка тока – совокупность линий тока, проходящих через бесконечно малый замкнутый контур.

• Элементарная струйка – жидкость, движущаяся внутри трубки тока.

• Живое сечение dω трубки тока – площадь поперечного сечения струйки, нормального к направлению течения жидкости.

• Поток – совокупность бесконечного числа элементарных струек, протекающих через замкнутый контур конечных размеров.

• Живое сечение потока ω – сечение, нормальное к каждой линии тока. При параллельных линиях тока живое сечение будет плоским, если линии тока не параллельны, живое сечение не плоское.

• Напорный поток – это поток, у которого по всему периметру живого сечения жидкость соприкасается с твёрдыми стенками. Пример – движение воды в водопроводных трубах.

• Безнапорный поток – это поток со свободной поверхностью. Пример – движение воды в реках, каналах и канализационных трубах.

• Струя – поток, весь периметр которого является свободной поверхностью. Пример – струя фонтана.

• Периметр живого сечения – длина контура, ограничивающего живое сечение.

• Смоченный периметр χ – часть периметра живого сечения, которая касается стенок русла. При напорном течении смоченный периметр совпадает с периметром живого сечения, а при безнапорном составляет лишь часть последнего.

• Гидравлический радиус сечения – это отношение площади живого сечения к смоченному периметру:

R = ω / χ. (3.1.1)

Например, для напорного течения в трубе диаметром D гидравлический радиус сечения R = D /4.

• Эквивалентный диаметр сечения D _eq = 4 R. Для сечения напорного потока в круглой трубе эквивалентный диаметр равен геометрическому: D _eq = D.

• Расход (объемный расход) – это объем жидкости, проходящий через живое сечение за единицу времени:

, (3.1.2)

где V – средняя скорость в сечении – такая мысленная одинаковая для всех точек живого сечения скорость, при которой через это сечение проходил бы такой же расход, как и при действительных местных скоростях.

• Уравнение неразрывности потока: если между двумя сечениями нет притока и оттока воды, то расход для этих сечений одинаков:

Q ₁ = Q ₂ или V ₁ ω ₁ = V ₂ ω ₂. (3.1.3)

• Ламинарное движение – это такое движение жидкости, при котором частички жидкости двигаются слоями, параллельно друг другу без перемешивания. Местные скорости по сечению потока распределяются по закону параболы (рис. 3.1.1 а).

• Турбулентное движение – это такое движение жидкости, при котором частички жидкости интенсивно перемешиваются. В слое небольшой толщины возле поверхности трубы местные скорости достигают практически максимального значения (рис. 3.1.1 б).

 

а б Рис. 3.1.1. Эпюры скоростей ламинарного (а) и турбулентного (б) потоков.

 

Число Рейнольдса Re – безразмерная величина, которая характеризует движение вязкой жидкости:

Re = VD _eq /ν. (3.1.4)

Если число Рейнольдса превышает критическое значение Re _cr ≈ 1000, то движение жидкости превращается из ламинарного в турбулентное.

 

Пример 3.1.1. Применяемые в водоснабжении и канализации трубы имеют минимальный диаметр d = 12 мм и максимальный диаметр d = 3500 мм. Расчётные скорости воды в них v = 0,5 ÷ 4 м/с. Определить минимальное и максимальное значения чисел Рейнольдса и режим течения воды в этих трубопроводах.

Решение. Температура воды в системах водоснабжения и канализации может изменяться от 0 до 30 °C, а кинематическая вязкость υ ₀ = 1,78 мм²/с и υ ₃₀ = 0,81 мм²/с. Минимальное число Рейнольдса будет при d = 12 мм, v = 0,5 м/с и υ ₀ = 1,78 мм²/с

Re_мин = vd/υ = 500·12/1,78 = 3370.

Максимальное число Рейнольдса будет при d = 3500 мм, v = 4 м/с и υ ₀ = 0,81 мм²/с

Re_макс = vd/υ = 4000·3500/0,81 = 17 260 000.

Даже минимальное число Рейнольдса больше критического, поэтому в трубопроводах систем водоснабжения и канализации режим движения воды всегда турбулентный.