Модель 4. Модель з втратою незадовільнених замовлень

У попередній моделі припускалось, що усі вимоги, які надходять у систему, коли в ній відсутній запас, ставляться на облік. Тепер розглянемо випадок втрати замовлень, тобто випадок, коли замовлення, які надходять в момент дефіциту запасу, назавжди втрачаються (рис.2.5) Якщо замовлення, які надходять при відсутності запасу, втрачаються, то твердження, що максимізація середнього річного доходу приводить до тієї ж стратегії функціонування, що і мінімізація середніх річних витрат, стає невірним. Доход буде залежати від тривалості стану дефіциту у системі і, отже, від стратегії функціонування. Однак можна показати, що при відповідному визначенні витрат у наслідок дефіциту запасів мінімізація середніх річних витрат дає ті ж результати, що і максимізація середнього річного прибутку.

Введемо позначення:

Q – загальний обсяг споживання товару протягом періоду ;

розмір партії поповнення запасу;

P – середній річний прибуток системи;

p – продажна вартість одиниці товару (ціна);

закупівельна вартість (ціна) одиниці товару;

– збитки у наслідок втрати замовлення;

довжина циклу поповнення запасів;

– час, протягом якого для деякого циклу спостерігається дефіцит запасу;

– частка часу, протягом якого у системі спостерігається дефіцит.

 

 

 

Рис. 2.5. Графік зміни рівня запасу

Середній річний прибуток дорівнює

, (2.26)

де – збитки у наслідок втрати замовлень, без врахування втраченого прибутку.

Величина представляє собою річний прибуток, який був би одержаний, якщо б у системі завжди був відсутній дефіцит. Цей прибуток не залежить від стратегії функціонування. Таким чином, якщо записати, що , то тоді мінімізація середніх річних витрат дасть ту ж стратегію функціонування, що і максимізація середнього річного прибутку. Ці два вирази будуть відрізнятись тільки на величину , яка не залежить від стратегії функціонування.

Повернемось до позначень витрат у попередніх моделей. Тоді

– витрати на створення запасу;

– витрати на утримання запасів (І – коефіцієнт витрат утримання запасів).

Задача у даному випадку полягає у визначені оптимального обсягу поставки q і тривалості циклу дефіциту u.

Для будь-якого розміру замовлення довжина циклу дорівнює .

Оскільки у середньому за рік відбувається циклів і витрати на утримання запасів за цикл дорівнюють а витрати у наслідок втрати замовлень за цикл дорівнюють то середні річні витрати дорівнюють

. (2.27)

Необхідна умова того, щоб були оптимальними, полягає у тому, щоб вони задовольняли рівнянням:

,

або

(2.28)

(2.29)

при умові

Розв’язуючи перше рівняння відносно q, одержуємо

(2.30)

Якщо , то не існує дійсних значень q, які задовольняють (2.28). Якщо то існує єдине додатне значення q, яке задовольняє (2.28). Коли , то є два додатних значення q, які задовольняють (2.28), оскільки у цьому випадку

. (2.31)

У випадку, якщо такого дійсного значення q, яке б задовольняло (2.28), не існує, то і нема такого u, яке задовольняючи нерівності доставляло б мінімум C(q, u). Отже, оптимальне значення u повинно бути 0 або . Оптимальне значення , оскільки нерівність припускає, що постійно мати витрати із-за втрати замовлень вигідніше, ніж мати систему, у якій не буває втрат замовлень. У такому випадку складська система не потребує управління.

Розглянемо тепер випадок, коли співвідношенню (2.28) задовольняють зразу або одне, або два додатних значення q. Підставляючи q із (2.28) у (2.29), після незначних перетворень одержимо

. (2.32)

Однак із (2.31) випливає, що у (2.32) для обох знаків перед коренем. У цьому випадку оптимальне значення . У частинному випадку, коли будь-яке значення u буде оптимальним.

Це означає, що якщо складська система взагалі повинна функціонувати, то допущення дефіциту ніколи не може бути визнано оптимальним.

Коментар: навіть якщо припустити втрату замовлень при , оптимальний розв’язок буде таким самим, як і для моделі без дефіциту.