Розділ 2. Детерміновані моделі

РОЗДІЛ 2. ДЕТЕРМІНОВАНІ МОДЕЛІ

УПРАВЛІННЯ ЗАПАСАМИ

Алгоритм у Mathcad.

Вхідні дані моделі

Визначення оптимального обсягу поставки

Рис. 2.2. Графіки функцій :

Мінімальне значення функції витрат

грош. од.

Припустимо тепер, що в умовах попередньої моделі замовляються не всі партії зразу, а кожна окремо, причому термін виконання замовлення дорівнює 60 дням. Визначимо точку замовлення, тобто при якому рівні запасу слід замовляти наступну партію.

Оскільки за результатом розв’язання попередньої задачі довжина інтервалу між поставками дорівнює 54 дням, то замовлення в умовах стабільної роботи торгівельного підприємства слід поновити, коли рівень запасу буде достатній для задовільнення потреби на

днів.

Оскільки щоденна потреба (інтенсивність витрати запасу) за формулою (2.1) дорівнює одиницям товару, то замовлення повинні робитись при досягненні рівня запасу до одиниць:

Коментар. Оптимальна стратегія управління запасами може бути сформульована наступним чином: найбільш економічний обсяг партії дорівнює одиниць, кількість поставок у рік , інтервал між поставками дня. Мінімальне значення функції витрат на поставку і зберігання товару при вказаних значеннях і дорівнює = 68,3 грош. од.

Зауважимо, що у Mathcad екстремальне значення будь-якої величини (наприклад, максимальне або мінімальне значення) можна також визначити і графічно. Для того, щоб визначити по графіку значення потрібної величини, клацніть у меню (Формат) у пункті (Графік) по рядку (Слідування), встановіть перехрестя маркера на потрібній точці графіка і виведіть у робочий документ значення , які вказані у вікнах (Величина Х) і (Величина ). ▲

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо вхідні дані моделі

v записуємо вирази для кількості поставок і інтервалу часу між поставками ;

v визначаємо функції витрат і функцію загальних витрат ;

vзастосовуючи оператор диференціювання, знаходимо похідну від функції по q;

v розв’язуючи рівняння за допомогою функції Mathcad , визначаємо оптимальний розмір партії постачання ;

v визначаємо оптимальну кількість поставок і інтервал часу між поставками для значення ;

v визначаємо мінімальне значення функції витрат .

Алгоритм у Mathcad

грош. од.

Коментар. Одержали такі результати: розмір найбільш економічної поставки дорівнює одиниць і залишився таким же, як і в попередній моделі. Кількість поставок також не змінилася і дорівнює Інтервал часу між поставками дорівнює доби. Загальні витрати збільшились і дорівнюють 71,9 грош. од. Це сталось у наслідок того, що у витратах на поставку враховується розмір поставки, що збільшує ці витрати. ▲

Модель 2

Обсяг витраченого товару за час t дорівнює b(t), обсяг товару, який зберігається на складі в момент t дорівнює різниці між розміром поставки на початку періоду і обсягом витраченого товару за час t: .

Миттєві витрати в момент часу t дорівнюють а час , за який буде повністю вичерпано запас, є функцією від q і визначається із рівняння

Якщо врахувати, що кількість партій постачання дорівнює , то загальні витрати за період u(q) дорівнюють

. (2.14)

Знаходячи похідну від функції C(q) по q – та розв’язуючи рівняння , одержуємо точку , яка є точкою мінімуму функції C(q). Оптимальне значення функції C(q) знаходимо, підставляючи в неї значення , одержуємо Значення визначає глобальний мінімум, оскільки функція C(q) є строго вгнутою функцією.

Оптимальну кількість поставок і оптимальний інтервал часу між поставками знаходимо за формулами (2.3).

Приклад 2.3. Розглянемо складську систему із наступними параметрами: інтенсивність витрачання запасу і витрати на постачання є лінійними функціями відповідно часу і обсягу партії постачання q: і Для параметрів візьмемо ті ж числові дані, що і в прикладі 2.2: Q=3650, T=365, ,

Визначимо, як і раніше, найбільш економічний розмір партії товарів , який мінімізує функцію витрат C(q), а також обчислимо кількість поставок та інтервал часу між поставками

Розв’язання. Позначаючи довжину періоду, у якому витрачається черговий запас, замість τ через u(q), алгоритм буде мати наступний вигляд.

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо початкові значення параметрів моделі:

v записуємо вирази для визначення інтенсивності витрачання запасу b(t), кількості поставок k(q) і інтервалу часу між поставками τ(q);

v визначаємо рівень запасу в момент часу t і момент вичерпання запасу

v визначаємо функції витрат і функцію загальних витрат ;

v знаходимо похідну від функції по q:

v визначаємо оптимальний розмір партії постачання , розв’язуючи за допомогою функції root(,q) рівняння ;

v визначаємо оптимальну кількість поставок і інтервал часу між поставками за формулами (2.3), підставляючи в них значення ;

v визначаємо мінімальне значення функції витрат грош. од.

Алгоритм у Mathcad

грош. од.

Коментар. Оптимальна стратегія управління запасами у даній моделі передбачає такі значення параметрів системи: розмір найбільш економічної партії поставки дорівнює одиниць, частота замовлень дорівнює разів на рік, відповідний інтервал часу між поставками дорівнює доби. Загальні витрати на постачання і зберігання запасу складають грош. од. ▲

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо початкові значення параметрів моделі і обчислюємо щільність збитків ;

v визначаємо інтенсивність витрачання запасів b, записуємо формули для кількості поставок k і інтервалу часу між поставками ;

v записуємо функції витрат і функцію загальних витрат ;

v визначаємо оптимальний обсяг поставки , оптимальний рівень запасу , оптимально допустимий обсяг дефіциту кількість партій постачання і довжину інтервалу між послідовними замовленнями на поповнення запасу

v визначаємо мінімальне значення функції витрат ;

v визначаємо відносну зміну витрат, коли розмір замовлення відрізняється від оптимального ;

v визначаємо точку замовлення , коли строк поставки не дорівнює оптимальному.

Алгоритм у Mathcad

грош. од.

Абсолютна і відносна зміна розміру партії постачання запасу

Абсолютна і відносна зміна витрат

Точка замовлення h, коли строк поставки u не дорівнює оптимальному

Розрахунок параметрів даної моделі дає нам інформацію про найбільш економічно вигідний обсяг запасу деталей на складі. Дефіцит деталей на складі призводить до збитків у вигляді штрафу за дефіцит.

Коментар. Дані розрахунки показують, що щільність збитків із-за незадоволеного попиту дорівнює ρ = 0,91, найбільш економічний розмір поставки партії деталей становить деталей, максимальний рівень запасу одиниць, кількість замовлень , інтервал між замовленнями доба. Сумарні витрати на зберігання запасу дорівнюють грош. од.

Відносна зміна сумарних витрат при збільшенні замовлення на одиниць дорівнює . Точка замовлення партії, якщо її поставка затримується на днів дорівнює одиниць. ▲

Модель 2.

Дана модель є подальшим узагальненням попередньої моделі на випадок, коли функція витрат на поповнення запасу і функція інтенсивності споживання запасу є лінійними функціями відповідно часу t і обсягу поставки q: , . Функція накопичення дефіциту z(t) є також лінійною функцією часу. Припускається, що дефіцит пропорційний попиту із заданим коефіцієнтом a, який визначається як частка врахованих вимог. Усі інші параметри моделі зберігають свій смисл. Функції можуть бути визначені на основі експериментальних даних у вигляді рівнянь регресії.

Сумарні витрати на постачання, як і раніше, дорівнюють

,

де .

Обсяг витраченого товару за час t дорівнює . Обсяг товару, що зберігається на складі в момент t, дорівнює різниці між обсягом запасу на початку періоду і обсягом витраченого товару за час t:

Час за який відбувається повне вичерпання запасу знаходиться із рівняння

Таким чином, витрати на зберігання запасу за період функціонування системи T, з урахуванням кількості поставок , дорівнюють

Визначимо інтенсивність накопичення дефіциту як величину, пропорційну інтенсивності витрати запасу: де коефіцієнт a визначає частку попиту b(t), який враховується. Тоді, оскільки дефіцит товару на момент часу t дорівнює величині z(t), то миттєві штрафні витрати за дефіцит у цей момент дорівнюють . Час за який відбувається накопичення дефіциту до величини визначається із рівняння .

Таким чином витрати, пов’язані з дефіцитом, за період Т функціонування системи, дорівнюють

Враховуючи формули для і рівність k(q) =Q/q, загальні витрати за період T дорівнюватимуть

(2.21)

Знаходячи частинні похідні від функції Сq, s) по q і s і розв’язуючи систему рівнянь

визначаємо оптимальні значення розміру партії постачання і максимального рівня запасу відповідно і які доставляють мінімум функції

Розв’язання системи рівнянь здійснюємо за функцією Minerr(q, s) у блоці алгоритму, який задається директивою Given. Мінімальне значення функції знаходимо, підставляючи в неї значення і , одержуємо .

Приклад 2.5. Визначимо оптимальний розмір партії постачання, максимальний рівень запасу, а також оптимальну кількість поставок і оптимальний інтервал часу між поставками для моделі з дефіцитом з додатковою умовою, що попит на продукцію при відсутності запасу, є лінійною функцією часу і пропорційний функції споживання запасу при його наявності, тобто де a – коефіцієнт пропорційності, який визначає кількість врахованих заявок на товар при його відсутності.

Розв’язання. Маємо такі значення вхідних величин:

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо початкові значення параметрів моделі

v визначаємо функції і щільність витрат ;

v визначаємо рівень запасу в момент часу t;

v визначаємо час вичерпання запасу u(s), розв’язуючи рівняння Розв’язання здійснюємо за оператором solve;

v визначаємо час за який відбувається накопичення дефіциту до рівня q – s, розв’язуючи рівняння

v визначаємо функцію витрат і її частинні похідні

, ;

v розв’язуємо систему рівнянь D1(q, s) = 0, D2(q, s) = 0 і визначаємо значення при яких функція витрат приймає мінімальне значення;

v визначаємо оптимальну кількість поставок і інтервал часу між поставками

v визначаємо мінімальне значення функції витрат .

Алгоритм у Mathcad

Рівень запасу в момент часу t;

Час накопичення дефіциту до рівня

Функція витрат

Розв’язання системи рівнянь D1(q, s) = 0 і D2(q, s) = 0 і визначення оптимального обсягу поставки, оптимального рівня запасу, оптимальної кількості поставок і часу між поставками

Мінімальне значення функції витрат

грош. од.

Коментар. Оптимальна політика управління запасами наступна: оптимальний розмір поставки одиниць, максимальний рівень запасу одиниць, кількість замовлень . Пропорційно зменшенню частоти поставок у порівнянні з моделлю без дефіциту, зменшився інтервал часу між поставками, який дорівнює доби. Мінімальне значення функції витрат дорівнює грош. од. ▲

Модель 3.

У даній моделі приймемо, що витрати , пов’язані з дефіцитом запасу, включають постійну складову і складову пропорційну тривалості дефіциту.

Витрати на поповнення і зберігання запасу, як і в моделі 1, дорівнюють

Витрати у наслідок дефіциту за цикл дорівнюють

де враховано, що .

За період T ці витрати складають

.

Середні сумарні витрати за період Т, які включають витрати на постачання і утримання запасу, а також витрати, пов’язані з дефіцитом запасу дорівнюють

,

тобто

. (2.22)

Задача полягає у тому, щоб визначити обсяг поставки q і максимальний рівень запасів s, при яких загальні витрати були б мінімальні.

є функцією двох змінних q і s. Треба знайти абсолютний мінімум С(q, s) в області Оскільки функція С(q, s) диференційовна у всій області її визначення, то і повинні задовольняти рівнянням

Розглянемо тепер алгоритм розв’язання цієї системи рівнянь. Із (2.22) одержуємо

Після перетворень цього виразу, одержимо

або

.

Далі маємо

.

Звідки

.

Одержали наступну систему рівнянь

(2.23)

Розв’язуючи систему, одержуємо формули для найбільш економічного обсягу партії і максимального рівня запасів для моделі з дефіцитом, втрати від якого пропорційні часу відсутності запасів

(2.24)

(2.25)

Величина дорівнює розміру дефіциту. Коли коефіцієнт , формули (2.23) і (2.24) мають вигляд:

і збігаються із формулами (2.17) і (2.18).

Визначивши визначаємо інші параметри системи:

Чисельний розв’язок системи рівнянь (2.23) можна також одержати за допомогою функції Mathcad Minerr(q, s), застосовуючи блок розв’язання Given. Відповідний алгоритм наведемо при розв’язанні прикладу 2.6. Крім того, засоби Mathcad дозволяють одержати систему рівнянь, аналогічну (2.23), у неявному вигляді за допомогою операцій символьного диференціювання.

Приклад 2.6. Розглянемо систему управління запасами із наступними характеристиками: обсяг замовлень Q = 200 одиниць на рік; вартість створення одиниці запасу c₁ = 500 грош. од.; коефіцієнт витрат утримання запасів І = 0,1 (розмірність – вартість в одиницю часу на одиницю капіталу, вкладеного в запаси); вартість утримання одиниці запасів грош. од.; витрати у наслідок втрати замовлення без врахування втраченого прибутку грош. од.; витрати, пропорційні тривалості дефіциту грош. од.; період роботи системи рік; час поставки поповнення запасу t = 9 місяців.

Визначимо оптимальний обсяг поставки оптимальний рівень запасів кількість поставок час між поставками точку замовлення , виходячи із фіктивного рівня запасів, точку замовлення виходячи із рівня чистого запасу і обсяг дефіциту .

Розв’язання. Розглянемо два алгоритми визначення величин і – за формулами (2.24), (2.25) і чисельним алгоритмом розв’язання системи рівнянь (2.23), застосовуючи функцію Mathcad Minеrr().

Алгоритм реалізації моделі у Mathcad аналогічний попередньому алгоритму.

Алгоритм у Mathcad

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо вхідні дані моделі

v послідовно обчислюємо величини

v визначаємо мінімальне значення цільової функції

v застосовуючи функцію Mathcad floor(), визначаємо найбільше ціле число m, яке менше або рівне величині і визначаємо величину .

Алгоритм у Mathcad

грош. од.

Коментар. Отже при обмеженій продуктивності виробництва продукції оптимальний розмір партії дорівнює од. Мінімальне значення функції витрат грош. од. У випадку необмеженої продуктивності, тобто при використанні формули Уілсона, він дорівнює од., що на % менше, ніж у попередньому випадку. Максимальний наявний запас дорівнює од., точка замовлення – од. Відмітимо, що розмір замовлення при обмеженій продуктивності завжди більше, ніж відповідний розмір замовлення при необмеженій продуктивності. ▲

Управління запасами

Розглянемо модель системи управління запасами з постійною інтенсивністю попиту і поставок .

Ведемо позначення:1

повний цикл роботи системи;

граничний запас на складі;

вартість виготовлення виробу;

фіксовані витрати, пов’язані із запуском виробництва;

коефіцієнт витрат зберігання запасу;

витрати на зберігання запасу;

втрати у наслідок не задовільнення замовлень клієнтів (дефіциту).

Позначимо також через – період часу, коли у системі одночасно відбувається поповнення і витрачання запасу, період часу, коли у системі відбувається витрачання створеного запасу, – період часу, коли у системі відбувається накопичення дефіциту запасу, період часу, коли у системі відбувається компенсація дефіциту. При цьому у періоді у системі є наявний запас, у періоді – запас відсутній.

Динаміка зміни рівня запасу у системі представлена на рис. 2.7.

 

 

Рис. 2.7.

 

Рис. 2.7. Графік зміни рівня запасу

Рівень запасу у системі визначається таким співвідношенням:

(2.38)

Припускаючи витрати на зберігання запасу і штрафи пропорційними середньому запасу і часу існування дефіциту, для функції витрат за цикл одержимо

. (2.39)

Максимальний дефіцит через виражається через максимальний запас у вигляді

Із рис 2.7 видно, що

Підставивши ці значення у вираз для одержимо

Перепишемо функцію витрат з урахуванням лінійності зміни рівня запасу:

У розгорнутому вигляді маємо

Усереднюючи цей вираз по одержимо витрати системи управління запасами в одиницю часу

(2.40)

Знайдемо частинні похідні від по , і прирівнюючи їх нулю, одержимо систему рівнянь:

Розв’язання цієї системи рівнянь дає оптимальні значення величин :

, (2.41)

При цьому досягається мінімум витрат в одиницю часу

(2.42)

Момент запуску виробництва визначається досягненням дефіциту

. (2.43)

Із одержаних співвідношень як частинні випадки можна одержати деякі відомі формули теорії запасів. Так, наприклад, при високому штрафі за дефіцит можна прийняти При цьому нестачі повністю виключаються і

(2.44)

Інший частинний випадок відповідає високій інтенсивності поповнення запасу – умова, типова для поставок із складу, що стоїть вище, коли весь обсяг замовленої партії відвантажується разом. У цій моделі

(2.45)

При виконанні обох умов одержуються відомі формули Уілсона

(2.46)

Окрім розглянутих вище показників, інтерес представляють ще два – найбільш економічний обсяг парті, що замовляється і точка замовлення при затримці між замовленням і початком постачання. Перший із них дорівнює попиту за період, так що для загального випадку