Заміна змінної при інтегруванні.

Нехай на деякому проміжку визначена складна функція і функція неперервна на цьому проміжку. Тоді:

. (5.3)

Формулу (5.3) називають формулою заміни змінної при інтегруванні.

Приклад 5.10. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

.

Вибір конкретної заміни “підказується” властивістю інтегралу.

Приклад 5.11. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

, або, повертаючись до змінної , маємо

Приклад 5.12. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. Розділивши чисельник та знаменник функції на , маємо

Ці перетворення підказують наступну заміну: . Тоді:

Приклад 5.13. Обчислимо інтеграл , .

Розв’язання. Застосуємо підстановку , .

Тоді ,

і (зауважимо, що оскільки для , то арифметичне значення кореня дорівнює ); беручи інтеграл, одержуємо .

З рівності одержимо, що , Остаточно маємо Значення цього інтегралу наведено в таблиці основних інтегралів.

Приклад 5.14. Обчислити інтеграл

Розв’язання. Обчислимо даний інтеграл кількома способами.

а) Нехай Маємо

Враховуючи, що а одержуємо

б) Нехай отже,

в) Покладемо тоді причому маємо Враховуючи, що розв’язуючи рівняння відносно - параметр) та відкинувши , маємо . Формально одержимо іншу відповідь порівняно з рішенням у пп. “а”, “б”, але можна одержати ту ж саму відповідь, якщо враховувати, що

Помітимо, що якщо первісна існує, то при різних підстановках відрізняється лише сталою. Цей інтеграл можна обчислити за допомогою інших підстановок ( ). Це свідчить про творчий процес інтегрування.

 

 

Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі.

Цей метод опирається на рівність

(5.4)

яку називають формулою інтегрування частинами.

Застосування формули (5.4) доцільно у тих випадках, коли підінтегральний вираз вдається представити у вигляді добутку двох множників і таким чином, щоб інтегрування виразів та стало задачею більш простою, ніж інтегрування початкового виразу.

По відомому диференціалу функція визначається неоднозначною, але у формулі (5.4) за може бути вибрана будь-яка функція, що має диференціал (тобто довільну сталу при знаходженні випускають).

Іноді для обчислення інтегралу формулу інтегрування по частинам доводиться застосовувати декілька разів.

Приклад 5.15. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

.

Приклад 5.16. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

.

Обчислимо інтеграл:

.

Остаточно маємо

Приклад 5.17. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

.

Таким чином

Приклад 5.18. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

.

Таким чином

Приклад 5.19. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. Шляхом інтегрування частинами можна одержати рекурентну формулу для обчислення інтегралу: .

(5.5)

По формулі (5.5) зводиться до (будемо писати ),

Приклад 5.20. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. В цьому випадку прийшлося б п’ять разів інтегрувати по частинам, кожного разу вибираючи многочлен за . Простіше скористатися формулою ( – многочлен)

В нашому випадку