Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду (8.9) де – відомі функції аргументу , – невідома функція. Рівняння називається лінійним тому, що і входять у нього лінійно, тобто в першій степені. Метод розв'язання такого рівняння запропонував Бернуллі. Метод полягає в наступному: знайдемо розв'язок рівняння у вигляді добутку двох функцій і . Підберемо функції і так, щоб їх добуток задовольняв рівняння. Підставивши в рівняння , , одержимо . Одну з функцій підберемо так, щоб . Помітимо, що , інакше функція . Тому і . Одержали систему двох рівнянь з подільними змінними: (8.10) Розв’яжемо перше рівняння системи. Оскільки , то рівняння набуває вигляду або після поділу змінних . Звідки , . Підставимо знайдену функцію у друге рівняння системи (8.10) і розв’яжемо його відносно функції . Одержимо або Звідки . Загальний розв'язок лінійного рівняння має вигляд . Може скластися враження, що лінійне рівняння розв’язується дуже громіздко. Однак це не так, і, в дійсності, немає ніякої потреби користатися виведеними громіздкими формулами. Важливо тільки запам'ятати загальний хід розв'язку лінійного рівняння. Приклад 8.4. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння . Розв’язання. Дане рівняння є лінійним, тому що в нього і входять у першій степені. Приведемо його до стандартного вигляду, розділивши на , одержимо Будемо шукати розв'язок у вигляді . Підставимо в рівняння , і підберемо функції і так, щоб рівняння перетворювалося в правильну рівність: , або . Нехай . Тоді Розв’яжемо систему З першого рівняння знайдемо і Підставляючи в друге рівняння системи знайдену функцію , одержуємо або . Звідки Загальний розв'язок має вигляд
Рівняння Бернуллі.
Рівняння Бернуллі має вигляд . (8.11) Як бачимо, рівняння відрізняється від лінійного тільки множником у правій частині рівняння. Покажемо, що це рівняння приводиться до лінійного. Поділимо рівняння на і замінимо , тоді . Оскільки , то рівняння набуває вигляду , тобто одержали лінійне рівняння відносно функції . На практиці рівняння Бернуллі може розв’язуватися тим же способом, що і лінійне, без попереднього зведення його до лінійного рівняння.
Приклад 8.5. Знайти загальний розв'язок рівняння . Розв’язання. Очевидно, що дане рівняння є рівнянням Бернуллі . Знайдемо розв'язок у вигляді . Підберемо і так, щоб їх добуток задовольняв рівняння. Підставимо в рівняння , , одержимо , . Складемо систему рівнянь: Розв’язуючи перше рівняння системи, знайдемо . Підставляючи знайдену функцію в друге рівняння системи, одержуємо чи . Звідки , . Загальний розв'язок рівняння: .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 540; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.142.12.240 (0.008 с.) |