Тема 2. Розв’язання трансцендентних рівнянь з одним невідомим

 

Завдання 2. Для заданого трансцендентногорівняння відокремити корені і знайти їх з точністю *:

1) методом половинного поділу (дихотомії),

2) методом дотичних (Н’ютона),

3) методом простих ітерацій.

Варіанти виконання завдання 2

Варіант		Варіант

Розв’язання рівняння методом дихотомії

Порядок виконання.

 

Для заданого нелінійного рівняння :

1) Представити рівняння у вигляді , для якого легко побудувати графіки функцій і

2) Нарисувати на одному рисунку графіки функцій , і графічно відокремити всі корені рівняння . При цьому на кожному виділеному відрізку повинен міститись тільки один корінь рівняння .

3) Провести аналітичну перевірку відокремлення коренів для кореня, найменшого по абсолютній величині (на рисунку - найбільш близький до початку координат).

4) Уточнити цей корінь із заданою точністю методом дихотомії. Результати розрахунків звести у таблицю 1 (див. нижче).

Приклад

розв'язання рівняння методом дихотомії.

 

1) Легко перевірити, що не є коренем рівняння. Представимо рівняння у вигляді .

2) Побудуємо на одному рисунку графіки функцій і . З рисунка бачимо, що є нескінченно багато точок перетину графіків цих функцій, а найменший корінь за абсолютною величиною знаходиться в інтервалі , і він в цьому інтервалі один.

3) Проведемо аналітичну перевірку відокремлення цього кореня. Функція неперервна на інтервалі і на його кінцях приймає значення різних знаків:

,

.

 

Отже на інтервалі є хоча б один корінь. Те, що цей корінь єдиний, слідує з наступних міркувань. Похідна функції на кінцях інтервала дорівнює ,

.

Знайшовши значення похідної в проміжних точках інтервалу , бачимо, що перша похідна на інтервалі знак не змінює. Друга похідна на інтервалі при перевірці теж зберігає знак (на кінцях , ). Це означає, що на інтервалі функція опукла и зростає, а значить на ньому не може бути больше одного кореня. Аналітична перевірка існування і єдиності кореня закінчена.

 

Уточнюємо методом дихотомії корінь, що належить інтервалу із заданою точністю . Результати обчислень зводимо у таблицю 2.

 

Таблиця 2 - Розрахункова таблиця знаходження кореня рівняння методом дихотомії

	a	f(a)	b	f(b)		f(c)	b-a
	-1,3	-0,126	-1,2	0,154	-1,25	0,085	0,1
	-1,3	-0,126	-1,25	0,085	-1,275	-0,0525	0,05
	-1,275	-0,0525	-1,25	0,085	-1,2625	-0,0167	0,025
	-1,2625	-0,0167	-1,25	0,085	-1,25625	0,00098	0,0125
	-1,2625	-0,0167	-1,25625	0,00098	-1,259375	-0,00782	0,00625

Моментом зупинки обчислень є виконання у поточному рядку таблиці 1 умови | b-a | < ε, тобто визначаємо його по останньому стовпцю таблиці (коли значення в цьому стовпці стає менше від ).

Розв"язання рівняння методом дотичних

Порядок виконання.

 

Для заданого рівняння :

1) Виконати пункти 1-3, що зазначені у попередньому методі

2) Знайти другу похідну функції .

3) Перевірити, чи зберігає знак на інтервалі відокремленого кореня. Якщо ні, то звузити інтервал до таких меж, щоб на ньому зберігала б знак.

4) Уточнити цей корінь із заданою точністю методом дотичних. Результати обчислень звести у таблицю 3 (див. нижче).

Теоретичні відомості.

Стартове значення ітераційної змінної х_n: .

Ітераційна схема методу дотичних має вигляд: .

Момент зупинки. Моментом зупинки обчислень вибираємо умову , де на [ а,b ]. Обчислення зручно звести у таблицю 3 із шапкою виду:

Таблиця 3 - Розрахункова таблиця знаходження кореня рівняння методом дотичних

n

 

Рядки таблиці заповнюються зліва направо. Зупинка обчислень ведеться по значенню в графі 7. Воно повинно стати меншим ніж δ=ε∙m₁.