Дисперсия случайной величины и его свойства

Дисперсия случайной величины характеризует уровень отклонений её значений от среднего значения, можно сказать, что дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины. Дисперсия важна в оценке распределения любой случайной величины, потому что её распределение существенно меняется, когда значения лежат, например, рядом со средней, т.е. её математическим ожиданием, или когда они довольно сильно могут от этой средней отклоняться. Таким образом, дисперсия

Для того, чтобы эту идею оценки отклонения от средней для значений случайной величины превратить в формулу, пришлось проверить на адекватность несколько их вариантов. В каждой из таких формул должно быть отклонение, т.е. разность между значением случайной величины и её математическим ожиданием, и такие разности должны быть тем или иным образом усреднены.

В итоге стало общепринятым такое определение дисперсии любой случайной величины X: . Иначе говоря, дисперсия случайной величины – это математическое ожидание такой составной случайной величины – квадрата разности между данной случайной величиной и её математическим ожиданием. Эта разность между данной случайной величиной и её математическим ожиданием является тоже случайной величиной, сдвинутой так, чтобы её математическое ожидание стало равно нулю. А математическое ожидание этой составной случайной величины и обеспечивает необходимое для определения дисперсии усреднение. В квадрат разность между данной случайной величиной и её математическим ожиданием пришлось возвести, чтобы в сумме отклонений от средней не уничтожались отклонения разных знаков. В формуле определения дисперсии такие отклонения разных знаков суммируются с предварительным возведением их в квадрат.

Можно доказать, что вычислять дисперсию случайной величины можно так: . В практических вычислениях дисперсий случайных величин именно такая формула позволяет делать меньше арифметических действий и даёт более результат с более высокой точностью, чем при использовании формулы для определения дисперсии.

Следует учитывать, что если случайная величина имеет размерность, например, метры или килограммы, то её дисперсия имеет размерность – квадрат исходной, т.е. квадратные метры или квадратные килограммы. В практических вычислениях характеристик случайных величин это не всегда удобно, в таких случаях дисперсию заменяют корнем квадратным из неё, и называют среднеквадрати́ческим отклоне́нием или станда́ртным отклоне́нием этой случайной величины. Обычно это стандартное отклонение обозначают буквой , по определению стандартное отклонение случайной величины X равно: . Стандартное отклонение случайной величины имеет размерность ту же, что и сама случайная величина.

Пример. Снова вернёмся к предыдущему примеру и вычислим дисперсии определённой в нём случайной величины – числа районов, в которых обнаружена нефть.

Дисперию этой случайной величины будем вычислять по формуле . Для этого в таблицу ряда распределения этой случайной величины добавим квадраты её значений, а потом – произведения этих квадратов на их вероятности:

 

Число районов с нефтью
Вероятности	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296
Квадраты числа районов
Произведения квадратов на вероятности		0,1536	1,3824	3,1104	2,0736

 

Теперь просуммируем по строке все произведения квадратов числа районов на вероятности и получим математическое ожидание величины : . Поскольку математическое ожидание величины нам уже известно – 2,4, мы можем его возвести в квадрат и вычесть из . Тогда получится значение дисперсии случайной величины : . Дополнительно подсчитаем и стандартное отклонение случайной величины : . Поскольку дисперсия была меньше единицы, корень из неё получился несколько больше дисперсии, но тоже меньшим единицы.

Свойства дисперсии

Свойства дисперсии одинаковы для всех типов случайных величин, как и для математических ожиданий.

1. , где C – это константа, т.е. дисперсия константы равно нулю, потому что значения такой случайной величины вообще не отклоняются от её средней.

2. т.е. дисперсия любой случайной величины всегда неотрицательна.

3. , если случайные величины независимы. Тогда дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

4. , где a – это какое-то число. Значит, число можно выносить из под знака дисперсии с возведением этого числа в квадрат.

5. , где a и b – это числа, это следствие из предыдущих свойств дисперсии.

6. , т.е. дисперсия является чётной функцией от случайной величины – не имеет значения, вычисляется дисперсия от самой случайной величины или противоположной ей по значениям (со знаками минус). Обе эти дисперсии будут равны.