Теория зацепления и синтез зубчатых механизмов

 

5.1 Основной закон зацепления (теорема Виллиса)

Пусть звено 1 (рис. 5.1), поворачиваясь относительно оси О₁ в направлении w₁, поворачивает звено 2 относительно оси О₂ в направлении w₂. Проведем общую нормаль n-n к профилям через точку К их контакта.

Рис. 5.1. К основной теореме зацепления.

 

Основной закон зацепления определяет соотношение между угловыми скоростями звеньев механизма, образующих высшую кинематическую пару (к которой относится и зубчатая пара):

 

общая нормаль к профилям, образующим высшую кинематическую пару, проведенная в точке их контакта, делит межосевое расстояние на части (отрезки) обратно пропорциональные угловым скоростям звеньев, т.е.

.

Отношение угловых скоростей звеньев называется передаточным отношением и обозначается U₁₂ = w₁/w₂.

Точка Р - пересечение общей нормали к профилям высшей пары с межосевой линией, называется полюсом зацепления.

Рассмотренный выше случай расположения полюса Р внутри отрезка О₁О₂, когда звенья вращаются в противоположных направлениях, соответствует внешнему зацеплению звеньев. При расположении полюса зацепления вне отрезка О₁О₂ имеет место внутреннее зацепление, при котором звенья вращаются в одну сторону.

Передаточное отношение считается положительным при одинаковом направлении угловых скоростей звеньев:

U₁₂ = .

Если скорости противоположны по направлению, то принято ставить знак «минус» при выражении передаточного отношения через отрезки;

U₁₂ = w₁/w₂ = - (O₂P₂ ) /(O₁P₁).

В общем случае можно записать:

U₁₂ = .

Передаточное отношение может быть переменным и постоянным. В передачах с переменным передаточным отношением полюс Р занимает различные положения на межосевой линии (что приводит к изменению отрезков O₂P₂ и O₁P₁ и,соответственно, к изменению передаточного отношения).

Для обеспечения постоянства передаточного отношения положение полюса зацепления на межосевой линии должно быть неизменным.

Точка Р - единственная точка, в которой скорости звеньев 1 и 2 будут равны по величине и по направлению, т.е. Vp₁ = Vp₂. Из этого следует, что полюс зацепления Р является мгновенным центром вращения в относительном движении звеньев. Как известно, геометрическое место мгновенных центров относительного вращения звеньев в системе каждого из звеньев называется центроидой этого звена. При движении центроиды катятся друг по другу без скольжения. В частном случае, когда U₁₂ = const и полюс зацепления занимает неизменное положение на межосевой линии, центроидами являются окружности радиусов О₁Р и О₂Р. В зубчатых передачах они называются начальными и их параметры обозначаются с индексом «w»:

U₁₂ = .