Глава 2. Математический анализ

Основные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и нескольких переменных, дифференциальные уравнения, числовые и степенные ряды широко используются при решении прикладных экономических задач. Все перечисленные разделы тесно взаимосвязаны и образуют стройную аксиоматическую теорию. Ряд заданий главы взят из пособия [4].

 

Функции одной переменной

 

На множестве Х задана функция у = f (х), если каждому элементу х множества Х поставлен в соответствие определенный элемент у множества Y.

Область определения функции f (х) – это множество значений аргумента х, на котором она определена. Обозначается D (f).

Определение. Функция называется четной/нечетной, если для любого выполняется равенство

2.1. Найти область определения функции:

2.2. Выяснить четность (нечетность) функции:

2.3. Построить график функции и указать ее свойства:

2.4. Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс. руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9 %. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени эксплуатации линейной, найти его стоимость через 4,5 года.

2.5. Зависимость уровня потребления y некоторого вида товара от уровня дохода семьи x выражается формулой . Найти уровень потребления товара при уровне дохода семьи 158 ден. ед. Известно, что при х = 50, y = 0; при х = 74, y = 0,8; при х = 326, y = 2,3.

2.6. Банк выплачивает ежегодно 5 % годовых (сложный процент). Определить: a) размер вклада через три года, если первоначальный вклад составлял 10 тыс. руб.; б) размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад (вместе с начисленными процентами) составит 10 тыс. руб.

Указание. Размер вклада через t лет определяется по формуле

где первоначальный вклад;

p – годовая процентная ставка.

2.7. Затраты на производство продукции y (тыс. руб.) выражаются уравнением y = 100 + 10 x, где х − число месяцев. Доход от реализации продукции выражается уравнением y = 50 + 15 x. Начиная с какого месяца производство будет рентабельным?

 

Контрольные задания

 

1. Найти область определения функции:

 

2. Выяснить четность (нечетность) функции:

 

3. Построить график функции:

Предел и непрерывность функции

 

Определение. Число А называется пределом функции f (x) в точке х ₀ (), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε) > 0, что для всех х ≠ х ₀, удовлетворяющих условию | x – x ₀|< δ, выполняется неравенство | f (x) – A| < ε.

Определение. Число А называется пределом функции f (x) при х → ∞ (), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое число М = М (ε) > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию | x| > М, выполняется неравенство | f (x) – A| < ε.

 

Некоторые свойства пределов

Пусть Тогда:

1.

2.

3.

Примеры.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

2.8. Найти пределы:

5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ;

18) ; 19) ; 20) ;

21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ;

27) ; 28) ; 29) ; 30) .

 

 

Замечательные пределы

Замечательный предел № 1:

Следствие 1.

Следствие 2.

Следствие 3.При sin k x ~ k x.

Замечательный предел № 2:

или

Примеры.

1) (1-й способ).

, т. к. при sin 2 x ~ 2 x (2-й способ).

т. к. при sin x/2 ~ x/2.

т. к. при sin x ~ x.

2.9. Найти пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) 18) ;

19) ; 20) 21) ;

22) ; 23) ; 24) ;

25) 26)