Частные производные 2-го порядка.

Исследование функции на экстремум

Пример 2.9.

Найти частные производные второго порядка функции
z = x ² y ³ + 2 y.

Решение.

= = = 2 y ³ = 2 y ³,

= = = 2 х = 6 xy ²,

= = =3y ² = 6 xy ²,

= = = 3х ² = 6 x ² y.

2.72. Найти частные производные второго порядка :

1) 2)

3) 4)

2.73. Доказать, что если то

Схема исследования функции z = z (x, y) на экстремум:

1. Найти частные производные , и решить систему уравнений

Решениями системы будут критические точки функции.

2. Найти частные производные 2-го порядка.

3. Для каждой критической точки вычислить определитель

Если ∆ > 0, то критическая точка является точкой максимума/минимума функции при условии < 0/ > 0.

Если ∆ < 0, то критическая точка не является точкой экстремума.

Если ∆ = 0, то требуется дополнительное исследование (изучается вопрос о знакопостоянстве функции в окрестности критической точки).

4. Вычислить экстремумы функции, подставив координаты точек экстремумов в уравнение z = z (x, y).

Пример 2.10.

Производятся два вида товаров, в количествах х ед. и y ед. Пусть 8 и 10 ден. ед. – цены на эти товары соответственно, а S = x ² + xy + y ² – функция затрат. Определить оптимальный выпуск товаров, при котором предприятие получит максимальную прибыль.

Решение.

Функция прибыли имеет вид:

П (х, y) = 8 х + 10 y – x ² – xy – y ².

Вычислим частные производные первого порядка:

П_х ΄ = 8 – 2 х – y, П_y ΄ = 10 – х – 2 y.

Найдем критические точки функции как решение системы уравнений

получаем точку (2; 4).

Найдем частные производные второго порядка:

= – 2, = = – 1, = – 2.

Так как и = – 2 < 0, то в точке (2;4) функция прибыли имеет максимум: П_max = П (2; 4) = 28.

Следовательно, для получения максимальной прибыли в 28 денежных единиц необходимо произвести 2 ед. товара первого вида и 4 ед. – второго вида.

2.74. Исследовать функцию на экстремумы:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

2.75. Производственная функция (в ден. ед.) имеет вид где х и у – количество ед. соответственно 1-го и 2-го ресурсов. Стоимость ед. первого ресурса – 5, а второго – 10 (ден. ед.). Найти максимальную прибыль при использовании этих ресурсов.

2.76. Как распределить сумму в $10 млн между тремя компаниями так, чтобы их суммарная прибыль была наибольшей, если прибыль каждой определяется соответственно по формуле: где – инвестируемая сумма?

2.77. Исследовать функцию на экстремумы и найти наименьшее и наибольшее значения в заданной области:

1) АВО: А(– 5; 0), В(0; – 5), О(0; 0);

2) АВС: А(2; 0), В(0; 2), С(0; – 2).

2.78. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную сумму длин ребер а, найти параллелепипед, имеющий наибольший объем.

Метод наименьших квадратов

Пусть дана таблица значений функции

x_i x₁ x₂ … x_п

y_i y₁ y₂ … y_п.

Параметры а и b линейной функции которая аппроксимирует данную зависимость, находят как решение системы

2.79. Имеются следующие данные о величине пробега автомобиля х (тыс. км) и расходе у (л/тыс. км):

x_i 50 70 90 110 130

y_i 0,2 0,5 0,8 1,1 1,3.

Полагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу методом наименьших квадратов.

2.80. Имеются следующие данные:

x_i 3 4 5 6 7

y_i 200 160 120 90 80,

где х – цена на товар (ден. ед.);

у – уровень продаж (тыс. ед.).

Полагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу методом наименьших квадратов.

 

Контрольные задания

1. Найти частные производные 1-го порядка:

1) 2) 3)

2. Найти экстремумы функции:

1) 2) 3)

3. Предполагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу методом наименьших квадратов по следующим данным:

1) x_i 1 2 3 4

y_i 1,3 2 2,5 2,8;

 

2) x_i 1 2 3 4

y_i 4 3 1 0;

 

3) x_i 1 2 3 4

y_i 3 3,4 3,6 4.

Дифференциальные уравнения

 

Определение. Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные или её дифференциалы. В случае, когда неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений.