Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Достаточный признак расходимости ряда
Если то ряд расходится. Пример 2.20. Ряд расходится по достаточному признаку расходимости, т. к.
Признаки сходимости рядов с положительными членами: 1. Признак сравнения. Пусть и − ряды с положительными членами. Если то эти ряды сходятся или расходятся одновременно. 2. Признак Даламбера. Пусть Если l < 1, то ряд сходится. Если l > 1, то ряд расходится. 3. Радикальный признак Коши. Пусть Если l < 1, то ряд сходится. Если l > 1, то ряд расходится. 4. Интегральный признак Коши. Пусть f (x) − непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞) функция. Тогда ряд сходится (расходится), если сходится (расходится) интеграл Пример 2.21. Исследовать на сходимость ряд:
Решение. 1. необходимо применить один из признаков сходимости положительных рядов – признак сравнения. При ~ ~ сравним исходный ряд с расходящимся рядом . исходный ряд расходится. 2. Применим признак Даламбера (найдем ): ряд сходится. 3. Применим радикальный признак Коши (найдем ): ряд расходится. 4. Применим интегральный признак Коши. Функция непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞). Интеграл сходится, следовательно, и ряд сходится. Замечание. С помощью интегрального признака Коши можно доказать, что ряд сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1. 2.93. Исследовать ряд на сходимость: 2) 3) 5) 6) 7) 8)
17) 18) 19) 20) 2.94. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется сумма где ап Множество значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Любой степенной ряд сходится при х = 0 (его сумма S равна а 0), т. е. область его сходимости не пуста. Схема нахождения области сходимости степенного ряда: 1. Найти радиус сходимости ряда Если R ≠ 0, то ряд сходится на интервале (− R; R). 2. Если R ≠ 0, исследовать ряд на сходимость при х = R и х = − R. В случае сходимости присоединить точку (точки) к интервалу. Пример 2.22. Найти область сходимости степенного ряда: 1) ; 2) . Решение. Найдем радиус сходимости ряда: ряд сходится при Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид − сходится. Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид − сходится абсолютно, т. к. ряд сходится.
Ответ: [–1; 1]. ряд сходится при Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид − расходится. Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид − сходится по признаку Лейбница ( члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине). Ответ: [–1; 1). 2.95. Найти область сходимости степенного ряда: 1) ; 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)
Формула Маклорена (разложение функции в ряд по степеням х)
~
Разложения в ряд Маклорена некоторых функций 2.96. Разложить функцию в ряд по степеням x и указать область сходимости полученного ряда: 1) 2) 3) 4) ; 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 2.97. Найти решение задачи Коши в виде степенного ряда (первые три члена ряда): 1) 2) 3) 4) Указание. Найти первые три члена ряда по формуле Маклорена. Формула Тейлора (разложение функции в ряд по степеням (х – а)) ~
2.98. Разложить в ряд функцию: 1) по степеням (х – 1); 2) по степеням (х + 1); 3) по степеням (x + 2); 4) по степеням (x – 1). 2.99. Вычислить приближенно с заданной точностью: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
Контрольные задания
1. Исследовать ряд на сходимость: 1) 4) 2) 5) 3) 6) 2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: 1) 2) 3) 3. Найти область сходимости ряда: 1) 2) 3) 4. Разложить в ряд функцию: по степеням (х –1); по степеням (х +1); по степеням (x +2). 5. Вычислить приближенно с заданной точностью: 1. а) б) 2. а) б) 3. а) б)
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 817; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.94.20 (0.028 с.) |