Степенная функция во множестве действительных чисел

Пусть m - произвольное вещественное число. Определим общую степенную функцию (a > 0)[3].

Из определения степенной функции следует, что при m > 0 она представляет собой возрастающую, а при m < 0 убывающую функцию.

Рассмотрим предельное значение степенной функции при . Докажем, что

.

Действительно, пусть - любая сходящаяся к нулю справа последовательность значений аргумента . Так как , то из свойств показательной функции вытекает, что при и при . Естественно положить теперь при и считать это выражение неопределенным при [4].

Докажем непрерывность степенной функции в любой точке положительной бесконечной полупрямой . Для этого достаточно установить, что эта функция непрерывна в каждой точке указанной полупрямой слева и справа. Докажем, например, непрерывность этой функции в точке слева (непрерывность справа доказывается аналогично). При этом ради определённости будем считать . Обратимся к формуле . Пусть – любая сходящаяся слева к последовательность значений аргумента степенной функции, так что . Так как логарифмическая функция непрерывна, то последовательность , где , сходится к , причем, все элементы отличны от (в самом деле при возрастает и тогда справедливо неравенство, при 0<a<1 логарифмическая функция убывает и тогда ). В силу непрерывности показательной функции последовательность сходится к . Иными словами, последовательность , представляющая собой последовательность значений степенной функции, соответствующую последовательности , сходится к , т. е., к . Непрерывность степенной функции в точке слева доказана. Аналогично доказывается непрерывность этой функции в точке справа. Но непрерывность функции в точке слева и справа означает, что функция непрерывна в этой точке. Отметим, что если , то степенная функция непрерывна также и в точке [4].

 

Степенно-показательная функция

Определение №1. Функция вида , у которой и основание степени, и показатель являются функциями от , причем при , называется степенно-показательной.

Примеры: , .

1. Если , то по определению логарифма можно написать:

.

2. Тогда .

3. Отсюда следует, что в силу непрерывности логарифмической и показательной функций, функция непрерывна во всех точках , в которых непрерывны функции и .

4. Представление степенно-показательной функции в виде может быть использовано при нахождении пределов.

5. Значит, если существуют пределы , , причем , то .

6. Если , то

[2].

Некоторые пределы, связанные с показательными и

Логарифмическими функциями

Известны формулы первого и второго замечательных пределов и следствия к ним.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. .

Докажем, что .

Доказательство:

1. Запишем по определению логарифма.

2. Возведем обе части равенства в степень : .

3. Тогда предел примет вид:

=

= [1].

3. Обратные тригонометрические функции

I. .

1. Рассмотрим функцию .

2. Функция не является монотонной на всей числовой прямой.

3. Поэтому, чтобы получить для нее обратную функцию, надо рассмотреть на одном из промежутков монотонности.

4. На отрезке функция непрерывна и строго возрастает от –1 до +1.

5. На основании теоремы о существовании и непрерывности обратной функции для функции на отрезке будет существовать обратная функция, в то время как прямая функция будет рассматриваться на отрезке .

6. Значения обратной функции будут лежать на отрезке .

7. Обратную функцию обозначают , .

8. Таким образом, записи , и , обозначают одно и то же.

9. Поэтому будут справедливы следующие утверждения:

, ;

, .

Рис. 1 111111

10. График функции является зеркальным отражением графика функции в биссектрисе I и III координатных углов (рис.1).

11. В силу теоремы об обратной функции функция строго возрастает и непрерывна на отрезке .

Рис. 1.

y

y = sin x

y = arcsin x

x

-1

-1

π¯

π¯

-

π¯

-

π¯

II. .

1.Рассмотрим функцию .

2. Функция не является монотонной на множестве действительных чисел, но на отрезке эта функция непрерывна и строго убывает от +1 до -1.

3. На основании теоремы о существовании и непрерывности обратной функции для функции на отрезке будет существовать обратная функция, в то время как прямая функция будет рассматриваться на отрезке .

4. Значения обратной функции будут лежать на отрезке .

5. Обратную функцию обозначают , .

6. Таким образом, записи , и , обозначают одно и то же.

7. Поэтому будут справедливы следующие утверждения:

, ;

, .

Рис. 2

8. График функции является зеркальным отражением графика функции в биссектрисе I и III координатных углов (рис.2).

y

π¯

-1

-1

π¯

x

Рис. 2.

y = arccos x

y = cos x

π

π

III. .

1. Рассмотрим функцию .

2. Функция на интервале непрерывна и строго возрастает от до .

3. На основании теоремы о существовании и непрерывности обратной функции для функции на интервале будет существовать обратная функция, в то время как прямая функция будет рассматриваться на интервале .

4. Обратную функцию обозначают , .

5. Таким образом, записи , и ,

обозначают одно и то же.

6. Поэтому будут справедливы следующие утверждения:

, ;

, .

π¯

π¯

π¯

-

π¯

-

x

y

Рис. 3.

y = tg x

y = arctg x

7. График функции является зеркальным отражением графика функции в биссектрисе I и III координатных углов (рис.3).

Рис. 3

IV. .

1. Рассмотрим функцию .

2. Функция на интервале непрерывна и строго убывает на интервале .

3. На основании теоремы о существовании и непрерывности обратной функции для функции на интервале будет существовать обратная функция, в то время как прямая функция будет рассматриваться на интервале .

Рис. 4

4. Обратную функцию обозначают , .

5. Таким образом, записи , и , обозначают одно и то же.

6. Поэтому будут справедливы следующие утверждения:

, ;

, .

7. График функции является зеркальным отражением графика функции в биссектрисе I и III координатных углов (рис.4) [1, 2].

y = ctg x

π¯

π¯

y = arcctg x

x

y

π

π

Рис. 4.

Модуль

Тема №5