Теорема о непрерывности обратной функции

 

Теорема

Пусть функция определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке , и пусть - множество её значений. Тогда на множестве обратная функция однозначна, строго монотонна и непрерывна.

Доказательство

Пусть для определённости функция возрастает на , т.е. для любых , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство:

(), ().

1. Докажем однозначность обратной функции.

Однозначность обратной функции следует из того, что в силу возрастания функции на справедливо неравенство:

при ,

и, значит, каждому соответствует единственное значение .

2. Докажем теперь, что обратная функция возрастает на .

Действительно, если , то и ( и ), так как если бы было , то из возрастания следовало бы, что , что противоречило бы предположению . Таким образом, факт строгой монотонности обратной функции установлен.

3. И, наконец, докажем, что обратная функция непрерывна на .

Так как монотонно возрастает на множестве , то она ограничена и принимает наибольшее и наименьшее значения на множестве . Множество является промежутком с концами и , где , .

Пусть , . Рассмотрим сначала случай, когда . В этом случае точка является, очевидно, внутренней точкой промежутка .

Выберем значение таким, чтобы и , и положим и . Тогда в силу возрастания получим:

.

Возьмём теперь таким, чтобы выполнялись неравенства:

и .

Тогда, если удовлетворяет неравенствам

,

то ,

и, следовательно, в силу возрастания имеем:

.

Учитывая, что и ,

получим: при условии .

Таким образом, доказано, что для любого достаточно малого существует такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. обратная функция непрерывна в точке . Но - произвольная точка интервала . Значит, обратная функция непрерывна на .

Если или , то с помощью аналогичных рассуждений можно доказать непрерывность справа в точке и слева в точке . Итак, факт непрерывности обратной функции на доказан.

В случае убывания функции доказательство теоремы проводится аналогично.

Модуль

Тема №5

Непрерывность основных

Элементарных функций. Равномерная непрерывность функции на множестве

Лекция №17

1. Непрерывность функций: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

2. Показательная функция во множестве рациональных чисел.

3. Показательная функция во множестве действительных чисел.

 

ﻫ Непрерывность элементарных функций

1. Доказать, что функция , непрерывна в любой точке числовой прямой.

Доказательство

1) Выберем произвольную точку R, так как определена на R.

2) Для этой точки R определим предел и значение функции в точке :

а) ,

б) .

3) Следовательно, , т.е. функция непрерывна в произволь­ной точке .

4) Так как точка выбиралась произвольно, то функция ,

непрерывна в каждой точке числовой прямой.

5) Доказательство проведено на основании определения №1 непрерывности функции в точке. Ч.т.д.

2. Доказать, что функция непрерывна в любой точке числовой прямой, кроме нуля, т.е. R \0.

Доказательство

1) Доказательство проведем на основании определения №5 непрерывности функции в точке на языке приращений.

2) Выберем произвольную точку R \0, так как функция определена на R \0, и определим в ней приращение функции:

.

3) Вычислим предел

,

так как . Значит, функция непрерывна в произвольной точке .

4) Так как точка выбиралась произвольно, то функция непрерывна в любой точке R \0. Ч.т.д.

3. Доказать, что функция непрерывна в любой точке множества действительных чисел.

Доказательство

1) Область определения функции – множество действительных чисел.

2) Выберем произвольную точку R и определим в ней приращение функции:

.

3) Вычислим предел . Значит, функция непрерывна в произвольной точке .

4) Так как точка выбиралась произвольно, то функция непрерывна в любой точке множества действительных чисел.

5) Доказательство проведено на основании определения №5 непрерывности функции в точке на языке приращений. Ч.т.д.

4. Доказать, что функция непрерывна в любой точке множества R.

Доказательство

Доказательство следует из теоремы о непрерывности алгебраической суммы, произведения и частного непрерывных функций и непрерывности функции в любой точке числовой оси. Ч.т.д.

5. Доказать, что функция непрерывна в любой точке множества действительных чисел, за исключением тех точек, где знаменатель дроби обращается в нуль.

Доказательство

Доказательство следует из теоремы о непрерывности алгебраической суммы, произведения и частного непрерывных функций и непрерывности функций

и .

Значит, заданная функция непрерывна в любой точке множества R, исключая те точки, в которых знаменатель равен нулю. Ч.т.д.

6. Доказать, что функция непрерывна в любой точке числовой прямой.

Доказательство

1) Доказательство проведем на основании определения №5 непрерывности функции в точке на языке приращений.

2) Функция определена в любой точке числовой прямой.

3) Выберем произвольную точку R и определим приращение функции в этой точке:

.

4) Вычислим предел от приращения функции:

.

Значит, функция непрерывна в произвольной точке .

5) Так как точка выбиралась произвольно, то функция непрерывна в любой точке числовой прямой. Ч.т.д.

7. Аналогично доказывается непрерывность функции в любой точке числовой оси. Провести доказательство самостоятельно.

8. Из непрерывности функций и в любой точке числовой прямой по теореме о непрерывности частного непрерывных функций в точке следует непрерывность функции

а) ; во всех точках числовой прямой, кроме точек

, - любое целое число;

б) а также непрерывность функции и во всех точках, кроме точек , где - любое целое число.

9. Доказать, что функция непрерывна на всей числовой прямой.

Доказательство

1) На интервале функция имеет вид , так как . А эта функция непрерывна в каждой точке числовой прямой.

2) На интервале функция имеет вид , так как . А эта функция непрерывна как произведение двух непрерывных функций и .

3) Остаётся установить непрерывность функции в точке .

4) Для этого вычислим односторонние пределы в точке :

а) ; б) .

5) Так как и , то функция непрерывна в точке . А, следовательно, она непрерывна на всей числовой прямой.

Ч.т.д.

Вывод:

1.Все рассмотренные функции непрерывны в областях их существования.

2.На основании теорем непрерывности суммы, разности, произведения и частного непрерывных функций можно утверждать, что функции, получаемые при помощи конечного числа арифметических действий над непрерывными функциями, также являются непрерывными функциями в области их существования.

Показательная функция во множестверациональных чисел

Определение 1.Пусть , тогда для любого рационального числа будет определено значение . Тем самым определена функция . Эту функцию называют показательной на множестве рациональных чисел.

Свойства показательной функции

I. , , , т.е. , где , .1.Пусть . Тогда:a) если , то ;б) если , то .2.а) ;б) ;в) .3. .4. .5. , для любого рационального числа : .

Док-во: 5-ого свойства1. Если и , то в силу первого свойства: .

2. Так как , а , то .3. На основании второго свойства: , и , следовательно, .4. Аналогично доказывается неравенство при .

 

 

II.Лемма 1.Пусть . Тогда существует , что для всех рациональных чисел , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство: . Справка: при .

Док-во: I.1. Пусть .

2. Так как , то : и .3. Так как , то на основании первого свойства , следовательно, два двойных неравенства можно переписать так:

4. Пусть -- рациональное число такое, что , то есть .5.Тогда на основании первого свойства показательной функции можно написать: или или .II. При лемма очевидна.III. При лемма доказывается аналогично, только в соответствии с неравенством первого свойства знак надо заменить на обратный (случай 1б).

2 Показательная функция во множестве действительных чисел

Определение2.Пусть , а -- произвольное действительное число, то есть . Пусть -- последовательность рациональных чисел, сходящаяся к . Очевидно, что для такая последовательность всегда существует. Тогда всегда существует и не зависит от выбора последовательности , , .

Случай не представляет интереса для изучения, так как .

Теорема1.Показательная функция во множестве действительных чисел , , обладает следующими свойствами:1) непрерывна в каждой точке числовой прямой;2) при строго возрастает, а при строго убывает на всей числовой прямой;3) , ;4) , ;5)а) при ;б) при ;6)а) при ;б) при .

Док-во: 1-ого свойства1. Известно, что : .2. Это утверждение справедливо и для действительных чисел.3. Пусть -- произвольное действительное число, , и , , -- показательная функция во множестве действительных чисел.4. Найдем приращение функции в точке при изменении аргумента на : .

5. Согласно лемме для показательной функции во множестве рациональных чисел: , удовлетворяющих неравенству ), выпоняется неравенство: , причем при , .6. Умножим обе части неравенства пункта 5 на положительное число : .7. Сравним приращение функции и последнее неравенство, очевидно, что при , т.е. , то есть на основании определения №5 непрерывности функции в точке, функция непрерывна в точке .8. Так как точка выбиралась произвольно, то функция непрерывна в любой точке числовой прямой.

 

Док-во: 2-ого свойства1. Пусть для определенности и .2. В силу плотности рациональных чисел во множестве действительных чисел существуют такие рациональные числа и , что

3. Выберем некоторые две последовательности рациональных чисел и так, чтобы и , и чтобы для .4. При на основании первого свойства показательной функции во множестве рациональных чисел можно записать:

5. Перейдем к пределу при (в показателях степеней) в последнем неравенстве: ; ; ; , следовательно, на основании определения показательной функции во множестве действительных чисел: ; ; .6. Неравенство пункта 4 примет вид: или при .7. А на основании определения возрастающей функции при , следовательно, строго возрастает при .

Замечание1.Случай рассматривается аналогично.

Замечание2.Графики функции имеют вид:

Док-во: 3-его свойства1. Пусть и такие последовательности рациональных чисел, что , и, следовательно, на основании теоремы о пределе суммы двух сходящихся последовательностей.2. Тогда в силу определения показательной функции во множестве действительных чисел .3. По свойству №2 показательной функции во множестве рациональных чисел , следовательно, , a>0.

Следствие 1. Для любых действительных чисел справедливо равенство: , следовательно, . 2. Поэтому .

Док-во: 4-ого свойства

I.1. Пусть -- целое положительное число, , т.е. .2. Применим раз свойство №2 показательной функции во множестве рациональных чисел: Следовательно, .

II.1. Пусть , , где -- целое положительное число, .2. Докажем, что: , т.е. что -- есть корень степени из числа : .3. На основании равенства и по определению корня: если , то . Или . Следовательно, .

III.1. Пусть , , где .2. По раннее доказанному можно написать: . Следовательно, .

IV. Пусть теперь , , то . Следовательно, .

V. Очевидно, что .Вывод: таким образом, доказано, что , : .

VI.1. Пусть .2. Рассмотрим произвольную последовательность рациональных чисел , сходящуюся к : .3. Тогда в силу равенства будет иметь место:

4. Поскольку , то в соответствии с определением показательной функции во множестве действительных чисел можно записать:а) ;б) , так как .5. Перейдем к пределу в равенстве пункта 3 при :

6. В соответствии с пунктом 4 перепишем записанное равенство: , .

 

Док-во: 5-ого свойстваI.1. Докажем, что при .2. Пусть .3. Тогда , .4.Так как , то (в соответствии с неравенством Бернулли).5. Для , , что .6. Если , а , то при , следовательно, -- определение бесконечно большой функции при (бесконечный предел функции на бесконечности) равносильно .

II.1. Если , то выполняется .2. Так как , то , т.е. .3. Поэтому .4. Если и , то , следовательно, подавно на основании теоремы о сжатой переменной.

Док-во: 6-ого свойства1. При .2. При .Доказательство проводится аналогично доказательству свойства №5.

 

Модуль

Тема №5