Кинематический анализ механизмов

При кинематическом анализе механизма движение входных звеньев задано и определяются положения, траектории, скорости и ускорения выходных и промежуточных звеньев.

Полученные кинематические характеристики механизма используются при динамическом анализе, когда определяются силы, действующие на звенья.

Определение положения звеньев и построение траекторий отдельных точек звеньев получают последовательным построением различных положений элементов механизма. Например, циклическое движение входного звена кривошипа разбивают на равные промежутки – на 6 или 12 частей.

Затем достраивают к положениям кривошипа положения других звеньев механизма.

Построения выполняют в масштабе: м/мм или м/мм.

Полученный чертеж положений звеньев механизма, соответствующих полному циклу его движения, называют планом положений механизма. Непрерывные линии, соединяющие последовательные положения одноименных точек дают различные траектории движения этих точек.

План положений механизма и траектории движений точек определяют размеры и занимаемую площадь механизмов и являются основой для последующего анализа скоростей и ускорений звеньев (кинематический анализ).

Определение основных кинематических характеристик механизма - линейных и угловых скоростей и ускорений звеньев выполняют аналитическим, графическим и графоаналитическим методами.

Аналитический метод имеет высокую точность решения, но очень трудоемок. Поэтому для его реализации широко применяется вычислительная техника, например, для механизмов роботов и манипуляторов.

Два других метода – графический и графоаналитический - просты и наглядны.

Графический метод определения скоростей и ускорений осуществляется с помощью графического дифференцирования диаграммы перемещений, получаемой из плана положений механизма.

Графический метод

Общие положения

Построение планов положений механизма начинается с построения нулевого положения и крайнего левого положения ползуна (рисунок 1.17). Затем траекторию кривошипа (траектория точки А) разбивают на несколько равных частей, соответствующих равным интервалам времени (6, 12 или 24) (рисунок 1.18). Соединяя точку О₁ с различными положениями, получаем соответствующие положения кривошипа А_о, А₁, А₂,…А₆. Методом засечек осуществляем разметку следующих звеньев – 3, 4 и 5 и строим их положения В_о, В₁, В₂,…; С_о, С₁, С₂,… Диаграмма перемещения точки С является графическим изображением закона ее движения. Построив 6 планов положения механизма, получим 6 положений точки С выходного звена. Проводим оси координат (рисунок 1.19, а).

По оси абсцисс откладываем отрезок произвольной длины, представляющий собой в масштабе μ_t время t(с) одного периода (время одного полного оборота выходного звена)

где n₁ – частота вращения выходного звена, мин^-1;

ω₁ – угловая скорость входного звена, с^-1.

Масштабный коэффициент времени:

где = 120 мм – отрезок на чертеже (рисунок 1.19, а).

Отрезок разбиваем на 6 равных частей, соответствующих шести положениям механизма (в курсовом проектировании на 12 равных частей). Через размеченные точки 0, I, II, III, IV, V, VI проводим прямые линии, параллельные оси ординат, на которых откладываем величину перемещения точки С от нулевого положения до положения в данный момент (до I, II, III, IV, V, VI положений). В рассматриваемом случае (рисунок 1.17) за начало отсчета выбрана точка С_о, то есть положение точки С при t = 0. На траектории точки С направление слева направо принято положительным.

 

Рисунок 1.17

Рисунок 1.18

Если перемещения , и так далее на графике перемещения (рисунок 1.19, а) откладывать прямо с плана положений механизма (рисунок 1.18), то масштабный коэффициент диаграмм перемещения будет равен масштабному коэффициенту плана положений .

Диаграммы скорости

Построение диаграммы скорости точки С осуществляется методом графического дифференцирования диаграммы перемещения (метод хорд).

Проводим новую систему координат (рисунок 1.19, б). Ось абсцисс проложим влево относительно начала координат и отложим на ней отрезок произвольной длины Н₁ (мм) до точки Р₁. Точка Р₁ называется полюсом графического дифференцирования (Н₁ = 20 мм).

На диаграмме перемещения, на первом участке, соединяем точки 0 и 1 хордой (рисунок 1.19, а). Из полюса Р₁ проводим линию параллельно хорде 01. Из подобия треугольников 0I1 (рисунок 1.19, а) и Р₁01^' (рисунок 1.19, б) следует

, (1.7)

где Δ и Δ - приращение функции и аргумента, построенные в масштабах μ_s и μ_t.

Истинные приращения функции и аргумента

и откуда

, .

Подставим эти значения в равенство (1.7)

, но ;

то есть, V_ср – средняя скорость на первом участке:

. (1.8)

Поскольку величина - представляет собой только масштабы построения, то отрезок , с точностью до постоянного множителя, изображает на диаграмме скороcти (оси V_s) среднюю скорость движения точки С на первом участке. Переносим ее в середину первого участка оси t:

.

Масштабный коэффициент скорости или, сравнивая с (1.8),

. (1.9)

Рисунок 1.19

 

Соединяем точки 1 и 2 хордой на втором участке диаграммы перемещения. Из полюса Р₁ проводим линию Р₁2′ параллельно хорде 1 2. Отрезок представляет собой среднюю скорость движения на участке 1 2. Полученные точки 1^’, 2^’, 3^’, 4^’, 5^’, 6^’ соединяем плавной кривой. Получим график скорости точки С .

Диаграммы ускорения

Построение диаграммы ускорения точки С осуществляется методом графического дифференцирования диаграммы скорости. Для этого проводится новая система координат (рисунок 1.19, в). Выбирается полюс графического дифференцирования Р₂ на расстоянии Н₂ от начала координат (Н₂ = 15 мм).

На диаграмме скорости (рисунок 1.19, б) соединяются хордами точки пересечения диаграммы скорости с отметками времени на каждом участке. Из точки Р₂ проводятся линии параллельные хордам.

По аналогии отрезок - среднее ускорение на первом участке, отрезок - среднее ускорение на втором участке и так далее. Соединяя точки 1'', 2'', 3'', 4'', 5'', 6'' плавной линией, получаем диаграмму ускорения точки С .

 

Масштабный коэффициент диаграммы ускорения:

. (1.10)

Истинные значения перемещения, скорости и ускорения пятого звена, например, для III положения механизма

;

;

1.2.2Графоаналитический метод

Общие положения

Для плоских механизмов, в частности рычажных, кинематический анализ удобно выполнять методом планов скоростей и ускорений. План скоростей (или ускорений) - это векторная картина скоростей (ускорений) характерных точек механизма для данного его положения. Метод планов имеет два существенных преимущества: во-первых, не нужно выполнять операции дифференцирования, уравнения для искомых величин получают непосредственно на основе теорем механики; во-вторых, можно очень наглядно интегрировать решение в графическом виде.

Метод планов основан на следующих теоремах теоретической механики.

Теорема 1. При плоском движении твердого тела его мгновенное абсолютное перемещение можно представить (рисунок 1.20) как сумму переносного поступательного перемещения вместе с любой точкой А этого тела и относительного вращения вокруг оси, проходящей через ту же точку А. (Именно так можно рассматривать перемещение тела на плоскости из положения А_оВ_о через промежуточное положение АВ’ в положение АВ).

Теорема 2. Абсолютная скорость, υ_а движущейся точки в каждый момент времени равна векторной сумме переносной υ_е и относительной υ_r скоростей:

. (1.11)

Теорема 3 (Кориолиса). Абсолютное ускорение а_а в сложном движении равно геометрической сумме переносного а_е, относительного а_r и кориолисова а_k ускорений:

(1.12)

 

Рисунок 1.20

 

Направление Кориолисова ускорения – вектор направления скорости относительно тела К, необходимо повернуть на 90^о по направлению угловой скорости - .

, , (1.13)

где ω_е – угловая скорость переносного движения;

υ_r – относительная линейная скорость; произведение ω_е и υ_r - векторное.

Объединяя утверждения теорем 1 и 2, для абсолютной скорости любой точки В можно записать следующее векторное равенство:

, (1.14)

где υ_А – скорость любой точки А рассматриваемого твердого тела; υ_ВА - относительная скорость точки В в ее мгновенном вращении вокруг точки А; линия действия этой скорости перпендикулярна радиусу ВА.

Графическое изображение скоростей в масштабе называют планом скоростей. Точка Р_v является началом отсчета, и ее часто называют полюсом плана скоростей.

Если переносное движение – поступательное (ω_е = 0), то ускорение Кориолиса а_k = 0. Относительное движение по теореме 1 - вращательное движение точки В вокруг точки А. Поэтому относительное ускорение а_r, в свою очередь состоит из двух ускорений: нормального аⁿ = ω²r, направленного вдоль линии ВА к центру вращения, и касательного а^t, направленного перпендикулярно ВА (рисунок 1.20, а_r = a_ВА). Таким образом, выражение (1.12) получит вид:

(1.15)

Рассмотрим векторный метод планов скоростей и ускорений на примере четырехшарнирного механизма (рисунок 1.21, а).

План скоростей

Абсолютная скорость точки А (l ₁ – длина звена ОА); вектор υ_А перпендикулярен ОА и направлен по угловой скорости ω₁. Для определения абсолютной скорости точки В в соответствии с теоремой 1 рассмотрим движение звена АВ как сумму поступательного переносного движения вместе с полюсом – точкой А и относительного вращения вокруг полюса А.

 

Рисунок 1.21

 

Векторное уравнение (1.14) определяет абсолютную скорость точки В; здесь линия действия вектора перпендикулярна звену О₁В, а вектора - звену АВ (в уравнении (1.14) векторы, известные по модулю и направлению, подчеркнуты дважды, а векторы, у которых известна только линия действия, - один раз). При графическом решении уравнения (1.14) на чертеже выбирают начало отсчета – точку р _υ (рисунок 1.21, б), откладывают от нее в направлении скорости υ_А отрезок р_υa. Длину отрезка р_υa выбирают из условия удобства дальнейших построений: отрезок р_υa определяет масштабный коэффициент плана скоростей:

(1.16)

который показывает, что каждый миллиметр чертежа изображает μ_υ единиц скорости; единица масштабного коэффициента – (м/с)/мм.

Продолжая графическое решение уравнения (1.14), из точки а плана (рисунок 1.21, б), которая изображает конец вектора , проводим линию действия вектора перпендикулярную АВ, а через начальную точку р _υ – линию действия вектора перпендикулярную О₁В. Точка b пересечения этих линий определяет отрезок р _υ b, изображающий вектор . Отрезок ab изображает вектор ; согласно уравнению (1.14) направление этого вектора – от точки а к точке b. Векторный треугольник р _υ ab - графическое решение исходного уравнения; модули найденных векторов скоростей:

Угловые скорости звеньев 2 и 3 в их движении относительно точек А и О₁, 1/с:

где l ₂ = АВ, l ₃ = ВО₁ – длины соответствующих звеньев. Для определения направления угловых скоростей ω₂ и ω₃ векторы и переносим мысленно с плана скоростей на план механизма в точку В и видим, что звено 2 вращается относительно точки А по часовой стрелке, а звено 3 относительно точки О₁ – против часовой стрелки (рисунок 1.21, а).

Определив скорость точки В, скорости точек С и М (или любых других в данном положении механизма) находят без составления уравнений и их решения; для этого используются следующие свойства планов скоростей и ускорений:

1. Векторы, идущие из точки р _υ плана скоростей (ускорений), представляют собой в масштабе μ_υ абсолютные скорости (ускорения) соответствующих точек механизма; векторы, не проходящие через полюс, есть относительные скорости (ускорения) точек звеньев. Концы векторов абсолютных скоростей (ускорений) точек А, В, … принято обозначать соответствующими малыми буквами а, b, ….

2. Отображения точек закрепленных шарниров О, О₁ всегда совпадают с начальной точкой р _υ.

3. Отрезки оа, ab, o₁b на плане отображают звенья АО, АВ и О₁В механизма. Это означает, что если, например, на звене АВ (рисунок 1.21, а) имеется точка С, лежащая на прямой АВ, то соответствующая отображающая точка с на плане (рисунок 1.21, б) находится на прямой ab и при этом верно соотношение ab/ac=l₂/АС, что вытекает из уравнений тогда абсолютная скорость точки С звена 2, м/с:

4. Любые три точки А, В, М звена, составляющие треугольник, отображаются на плане в треугольник Δabm подобный ΔАВМ; на отрезке ab можно построить два треугольника, подобных данному; из них искомое решение дает тот, у которого порядок обхода вершин из точки а такой же, как в ΔАМВ (направление обхода вершин на звене и на плане должно быть одинаковым). Таким образом, на рисунке 1.21, б получено отображение на плане точки М – точки m:

При тщательном выполнении построений, средняя ошибка определения скоростей составляет 5…7%, ускорений – до 10%.

План ускорений

Исходными данными для построения плана ускорений механизма (рисунок 1.21, в) являются известные абсолютные ускорения точки А звена 1 и найденные скорости. Ускорение точки А при равно векторной сумме нормального ускорения , направленного от точки А к точке О, и касательного

( 1.17)

Выбрав начало отсчета р_а плана ускорений (рисунок 1.21, в), показывают на чертеже отображения ускорений и векторы и ; вектор плана изображает полное ускорение а _А. Масштабный коэффициент плана ускорений [(м/с²)/мм]:

Для определения ускорения точки В рассмотрим абсолютное движение звена АВ как сумму переносного и относительного движений. С учетом выражения (1.15) векторной уравнение абсолютного ускорения точки В получит вид:

. (1.18)

Вектор нормального ускорения по модулю равен и как центростремительный направлен по прямой АВ от точки В к центру относительного вращения – точке А. Вектор касательного ускорения перпендикулярен прямой АВ. В уравнении (1.18) двумя чертами подчеркнуты ускорения, известные по модулю и направлению, а одной чертой – когда известна лишь линия действия. Так как ни модуль, ни линия действия вектора неизвестны, а у вектора известна только линия действия, то векторное уравнение (1.18) решить нельзя; поэтому необходимо иметь второе векторное уравнение.

Точка В принадлежит одновременно звеньям АВ и ВО₁ (рисунок 1.21, а). Рассматривая движение звена ВО₁ и принимая за полюс неподвижную точку О₁, запишем следующее уравнение для абсолютного ускорения точки В:

, (1.19)

где нормальное ускорение параллельно ВО₁; а линия действия вектора

Совместное решение векторных уравнений (1.18) и (1.19) дает возможность определить искомый вектор абсолютного ускорения точки В. Отрезок представляет собой первое слагаемое векторного уравнения (1.18) - ускорение а_А. От точки а откладывают отрезок , изображающий вектор , который направлен параллельно звену ВА от точки В к точке А (так как звено 2 вращается относительно точки А, а вектор - центростремительное ускорение). Далее через конец отрезка an₂ проводят линию действия .

Аналогично, графически реализуется уравнение (1.19). На пересечении линий действия векторов и находится искомая точка b; отрезок изображает вектор ; отрезки и изображают соответственно векторы и . Полученный план ускорений и система уравнений (1.18) и (1.19) взаимно однозначно соответствуют друг другу, т.е. найденное графическое решение удовлетворяет исходным уравнениям. Стрелки векторов на плане ускорений поставлены в соответствии с векторными уравнениями.

Если на звене имеется дополнительная точка, например, на звене 2 точка С, то ее отображение с на плане ускорений (рисунок 1.21, в) находится на отрезке ab с учетом соблюдения условия .

Отображение m точки М строится на основании четвертого свойства планов: подобен ; .

Угловые ускорения звеньев в их относительном вращательном движении можно найти, используя соответствующие касательные ускорения, 1/с²: ; .

Для определения направления углового ускорения ε₂ звена АВ переносим вектор в точку В (рисунок 1.21, а) на плане механизма и видим, что вектор поворачивает звено вокруг точки А по часовой стрелке. Сопоставляя направления ω₂ и ε₂, заключаем, что звено 2 движется относительно точки А ускоренно. Аналогично определяем направление ускорения ε₃ звена О₁В.