Задачи с решениями на определение ускорений отдельных точек тела при плоскопараллельном движении

Задача 3.12. К кривошипу , равномерно вращающемуся в плоскости рисунка вокруг точки с угловой скоростью , прикреплен шатун , соединенный с коромыслом . Определить ускорение точки шатуна, угловые скорости , и угловые ускорения , шатуна и коромысла .

Решение. Начнем с определения скоростей. Шатун совершает плоскопараллельное движение. Движение точки можно легко определить. Поэтому за полюс примем точку и по исходным данным определим скорость и ускорение точки А шатуна. Так как точку принадлежит и равномерно вращающемуся кривошипу , то по (2.16) . Вектор перпендикулярен к и направлен в сторону вращения кривошипа. По формулам (2.17) и (2.18) при : , . Вектор нормального ускорения направлен от точки к точке О. Точка принадлежит вращающемуся коромыслу и шатуну одновременно. Следовательно, траектория точки В известна. Точки В движется по окружности радиуса ВС. Поэтому вектор скорости перпендикулярен к и направлен так, как показано на рисунке 2 к задаче. Последнее следует из теоремы о проекциях скоростей. По этой же теореме находится и величина . Проецируя векторы на ось , получим: . Или .

Чтобы найти , построим мгновенный центр скоростей шатуна АВ. Из треугольника видно, что . Или .

Тогда , .

 

Переходим к определению ускорений. Векторы нормальных ускорений отдельных точек тел, совершающих вращательное движение, направлены к оси вращения. То есть их направления всегда известны, если известна ось вращения. В данной задаче оси вращения проходят через точки перпендикулярно плоскости рисунка. Оси, проходящие через точки , - неподвижны, а две другие – подвижные, «мгновенные» оси. Векторы касательных ускорений отдельных точек вращающихся тел направлены по касательным к их траекториям, но часто бывает не известно в какую сторону. Если направления векторов линейных скоростей точек уже известны, то неизвестные векторы касательных ускорений будем направлять в ту же сторону. Это соответствует предположению об ускоренном движении точек. Угловые ускорения вращающихся тел, связаны с соответствующими касательными ускорениями, направления их согласованы. С учетом сказанного, на рис.2 показаны векторы касательных ускорений точек и угловых ускорений тел .

Учитывая, что точки и описывают окружности радиуса и соответственно, запишем векторное уравнение (3.20):

(*)

где , , , , , .Все векторы ускорений показаны на рисунке 2 к задаче. Модули векторов , пока неизвестны.

Спроектируем обе части векторного уравнения (*) сначала на ось Вх₁ (направление ВА), затем на ось Вх₂ (направление ВС):

,

.

Решая совместно эти уравнения, получим:

.

.

Математически знак минус указывает на то, что векторы , показанные на рисунке 2, в действительности направлены в обратную сторону, и их истинные направления, удовлетворяющие уравнению (*), не совпадают с направлениями соответствующих векторов линейных скоростей , которые уже были определены. С механической стороны не совпадение направлений соответствующих векторов линейных скоростей и ускорений означает, что точка в данный момент совершает мгновенно замедленное движение.

Вычислим, наконец, модуль ускорения точки и угловые ускорения шатуна и коромысла - .

, ,

Знак (–) вобоих случаях связан с полученными знаками для соответствующих проекций векторов и указывает на то, что вращение шатуна АВ икоромысла ВС из рассматриваемого положения является замедленным. Другими словами, истинные направления криволинейных стрелок противоположно тому, что показано на рисунке 2 к задаче. Ответ: , ,

, , .

Задача 3.13. Груз 3 движется сог­ласно закону . Опре­де­лить скорости и ус­ко­рения точек , , подвижного блока в мо­мент времени , если радиус подвижного блока

Решение: Груз 3 движется поступательно вниз. Его скорость . При ; , ускорение . Блок 1 дви­жется плоскопараллельно. Так как левая часть нити неподвижна, то точ­ка имеет скорость . Следовательно, точка - мгно­вен­ный центр скоростей (МЦС) блока 1. Так как проскальзывание нити по блоку 1 отсутствует, значение скорости в точке равно значению скорости гру­за 3, то есть . Угловая скорость блока 1 при равна . Найдем скорости точек и подвижного блока: ; .

 

Рис.1 к задаче 3.13

 

Определим ускорения точек А, В, С плоской фигуры. Касательное ускорение точки равно ускорению груза 3: . Так как , то и ; . Значение , так как точка О движется прямолинейно. Итак, модуль и направление ускорения точки известны, поэ­то­му будем считать данную точку полюсом. По (3.25) найдем век­торы ускорений точек , и :

; ;

Спроецируем эти векторные равенства на оси О , О .

; ; ; ;

; ,

где , .

Тогда ; ;

.

Отметим, что . Это значит, что величины ускорений точек нити (или груза 3) в два раза больше величины ускорения точки О. Ответ: ; ; ; ; ; .

Задача 3.14. Диск радиуса , совершающий плоскопараллельное движение, катится без скольжения по горизонтальной плоскости (рис. 1 к задаче 3.14). Центр диска движется равнозамедленно с ускорением , модуль которого . Определить вектор полного ускорения точки диска в тот момент времени , когда скорость центра .

 

 

Решение. Для определения вектора ускорения точки воспользуемся формулой (3.25), приняв за полюс центр диска точку , скорость и ускорение которой известны.

+ . (*)

Здесь , . Найдем угловую скорость и угловое ускорение диска, учитывая, что точка является мгновенным центром скоростей. , и для момента времени , когда , имеем следующее значение угловой скорости:

(**)

Направление соответствует направлению вектора скорости и показано дуговой стрелкой на рис.2 к задаче 3.14.

Замечание: по условию задачи центр диска движется замедленно. Другими словами его скорость меняется с течением времени. То есть надо считать, что величина скорости есть функция времени . Следовательно, и угловая скорость диска есть функция времени. Но в момент времени по условию задачи и

Угловое ускорение диска в любой момент времени вычисляется по формуле . Продифференцируем по времени с учетом того, что расстояние от точки О до МЦС в любой момент времени равно . Тогда . По условию задачи центр диска движется равнозамедленно, то есть с постоянным ускорением (замедлением) . Тогда в любой момент времени, в том числе и при , для модуля углового ускорения имеем: . Следовательно, и . Оно имеет одно и то же значение для любого момента времени. Направление соответствует направлению вектора ускорения и показано дуговой стрелкой на рис.2 к задаче 3.14. Направления и не совпадают, поэтому движение диска замедленное.

Теперь для момента времени можно вычислить , . Вектор касательного ускорения приложен к точке и направлен по направлению дуговой стрелки (Рис.2,3 к примеру). Векторнормального ускорения приложен к точке и направлен к полюсу .

 

1.Геометрическая интерпретация векторного равенства (*) показана на рис.3 к примеру. Вектор ускорения точки получается сложение по правилу параллелограмма двух взаимно перпендикулярных векторов + и (рис.3). Эти векторы взаимно перпендикулярны, параллелограмм превращается в прямоугольник. Поэтому величину (модуль) вектора можно найти по теореме Пифагора:

= .

Угол наклона вектора , как видно по рисунку, определится из уравнения . Отсюда . 2. Для определения вектора можно воспользоваться методом проекций. Спроецируем уравнение (*) на оси координат (см. рис. 3 и 4). Получим: + , + . Здесь , , , , , . Тогда , . Модуль вектора вычисляется обычным способом: . Направление вектора полного ускорения определяется в данном случае по знакам его проекций на оси координат, а для модуля угла имеем уравнение . Отсюда , что полностью совпадает с полученным ранее значением. Ответ: , .

Задача 3.15. Концы бруса , движущегося в вертикальной плоскости, скользят по горизонтальной и наклонной плоскостям (рис. к задаче 3.15). В момент времени, когда , величина скорости и величина ускорения . Определить в данный момент времени величины скорости и ускорения конца бруса, угловую скорость бруса и угловое ускорение , если . Ответ: , , , .

Задача 3.16. По неподвижной шестерне 1 радиуса обкатывается шестерня 2 радиуса , насаженная на кривошип . Кривошип вращается относительно неподвижной оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку , и имеет в данный момент времени угловую скорость и угловое ускорение . Определить в данный момент времени угловую скорость , угловое ускорение второй шестерни и величину ускорения точки , если радиус перпендикулярен оси кривошипа . Ответ: , , .

Задача 3.17. Стержень длиной движется в плоскости чертежа. В некоторый момент времени точки и имели ускорения, модули которых , . Определить угловое ускорение стержня , если в данный момент времени угол . Ответ: .

Задача 3.18. Тело в форме прямоугольника находится в плоскопараллельном движении. Найти в показанный на рисунке момент времени его угловую скорость , если модули ускорений , . Расстояние , угол . Ответ: .

Задача 3.19. Определить величину ускорения ползуна и угловое ускорение шатуна кривошипно-шатунного механизма в показанном на рисунке положении, если угловое ускорение кривошипа в данный момент времени . Длины звеньев , . Ответ: , .

 

Задача 3.20. Кривошип планетарного механизма вращается с постоянной угловой скоростью относительно оси, проходящей перпендикулярно к плоскости рисунка через центр неподвижного колеса . Определить модуль ускорения точки , являющейся мгновенным центром скоростей подвижного колеса , если радиусы колес . Ответ: .

Задача 3.21. Кривошип кривошипно-шатунного механизма вращается с постоянной угловой скоростью . В показанном на рисунке положении механизма определить угловую скорость и угловое ускорение шатуна АВ, модули скоростей и ускорений точек , если , , , . Ответ: , , , , , , .

Замечание: На рис.1 к задаче приведена исходная схема механизма. На рис. 2 к задаче приведена расчетная схема, которая сопровождает вычисления. Это некоторая «подсказка» к решению. Рекомендуется при решении задачи на первом этапе разобраться со скоростями, а векторы ускорений с рисунка убрать. На втором этапе определяются ускорения. При этом векторы скоростей с рисунка надо убрать, чтобы не загромождать рисунок.

 

 

Вопросы для самоконтроля к главе 3.

 

1.Какое движение твердого тела называется плоскопараллельным или плоским?

2. Запишите уравнения плоскопараллельно движения твердого тела.

3. Из каких простейших движений твердого тела математически «складывается» плоскопараллельное движение?

4. Сформулируйте и поясните теорему о геометрическом сложении скоростей точек плоской фигуры.

5. Запишите уравнения метода проекций для определения скорости произвольной точки плоской фигуры.

6. Какая точка плоской фигуры называется полюсом?

7. Зависят ли угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры от выбора полюса?

8. Как вычисляется скорость произвольной точки плоской фигуры при вращении фигуры относительно полюса в плоскопараллельном движении?

9. Сформулируйте теорему о проекциях векторов скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки.

10. Что называется мгновенным центром скоростей плоской фигуры

11. Как определяется мгновенный центр скоростей плоской фигуры при известных направлениях векторов скоростей двух точек плоской фигуры?

12. Покажите положение мгновенного центра скоростей для известных Вам частных случаев движения плоской фигуры.

13. Как вычисляется скорость произвольной точки плоской фигуры в плоскопараллельном движении при известном положении мгновенного центра скоростей?

14. Сформулируйте теорему о геометрическом сложении векторов ускорений при плоскопараллельном движении плоской фигуры. Из каких векторов состоит в общем случае вектор ускорения произвольной точки плоской фигуры?

15. Как направлены и как вычисляются величины касательной и нормальной составляющих вектора ускорения произвольной точки, возникающего от вращения плоской фигуры относительно полюса?

16. Запишите уравнения метода проекций для определения ускорения произвольной точки плоской фигуры.

17. Какая точка называется мгновенным центром ускорений плоской фигуры?

18. Как вычисляется ускорение произвольной точки плоской фигуры при известном мгновенном центре ускорений?