Теорема о проекциях скоростей.

3.5. Теорема. Проекции векторов скоростей и двух точек и твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны.

(3.12)

 

Здесь - модули векторов скоростей соответствующих точек, - углы, которые образуют векторы с осью . По теореме о проекциях скоростей можно определить одну из четырех величин, входящих в (3.12). Три другие величины должны быть известны.

 

 

 

Доказательство: Рассмотрим движение двух произвольных точек и твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение (рис.3.8). Пусть точка выбрана за полюс. Проведем через точки и ось координат . Точки выбраны на горизонтальной оси. Это не уменьшает общности рассуждений, но облегчает восприятие рисунка 3.8. Вектор скорости в точке находится по формуле (3.7): . Соответствующие построения показаны на рис. 3.8 и раньше на рис. 3.6. При этом можно пока предполагать, что векторы и известны. Спроецируем равенство (3.7) на ось . Другими словами, спроецируем три вектора, показанные на рис. 3.8 в точке на ось . Учитывая, что вектор перпендикулярен к оси и его проекция на ось равна нулю, получим: . Что и требовалось доказать.

Значение теоремы. 1. Теорема позволяет найти одну из входящих в (3.12) алгебраических величин по трем другим известным величинам. 2. Формула (3.12) допускает простую механическую интерпретацию движения плоской фигуры. Действительно, , - это алгебраические величины скоростей двух точек фигуры в направлении оси . По (3.12) они равны. Другими словами, на сколько в процессе движения точка приближается к точке за промежуток времени в направлении , на столько же точка удаляется от точки в этом же направлении. Значит расстояние между точками А и В при движении абсолютно твердого тела не изменяется. Понятно, что этот факт не зависит от выбора точек, а (3.12) можно рассматривать как математическое выражение гипотезы об абсолютно твердом теле. 3. По известному направлению движения одной точки, например, по направлению вектора скорости , можно определить направление движения точки . В качестве примера на рис.3.9 показано возможное направление движения точки для заданного вектора . Точка может двигаться только вправо - вверх или вправо – вниз. Длина вектора тоже может меняться в широких пределах, но только так, чтобы модуль проекции вектора на ось был равен отрезку . «Насильственное» нарушение указанных требований в реальных механизмах приводит к разрушению механизма «заклиниванием».

Пример 3.2. Воспользовавшись условием примера 3.1, найти скорость точки (рис. к примеру 3.1.а и 3.1.б), пользуясь теоремой о проекциях скоростей.

Решение. Если бы задачу пришлось решать с самого начала, то пришлось бы вначале определить направления векторов скоростей и в точках и , а также модуль вектора скорости , как это было сделано в примере 3.1. Далее пришлось бы мысленно провести ось, например, например, , проходящую через точки и , и направленную от точки к точке . Далее определить углы, которые векторы , образуют с этой осью, и которые показаны на рис. к примеру 3.1.б. Наконец, записать разрешающее уравнение (3.12) . Отсюда , что совпадает с результатом предыдущего примера.

Замечание. Пользуясь только теоремой о проекциях скоростей, угловую скорость шатуна определить не можем.