Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема о геометрическом сложении векторов ускорений.
3.11. Теорема.Вектор ускорения произвольной точки В плоской фигуры в плоско - параллельном движении равен геометрической сумме вектора ускорения точки А, принятой за полюс, и вектора ускорения , которое точка В приобретает при вращении плоской фигуры относительно полюса А (рис.3.19): (3.24)
Доказательство: По теореме о сложении векторов скоростей (3.7) вектор скорости произвольной точки плоской фигуры . Продифференцируем последнее равенство по времени и получим: = + . Здесь - вектор ускорения точки В. - вектор ускорения полюса А. - вектор ускорения точки В, которое оно приобретает от вращения фигуры (другими словами, отрезка АВ) относительно полюса А. Окончательно, вектор ускорения точки В вычисляется по формуле . Что и требовалось доказать. Геометрическая интерпретация формулы (3.24) для одного из возможных вариантов движения фигуры представлена на рис. 3.17. В общем случае полюс А может двигаться по любой траектории – прямолинейной или криволинейной. Отрезок АВ вращается, поэтому траектория точки В – кривая линия. Следовательно, вектор всегда можно представить в виде суммы его касательной и нормальной составляющих , что бывает удобно в практических расчетах (рис.3.18, рис.3.19). При этом (3.24) принимает вид:
+ (3.25)
Величины векторов вычисляются по формулам теории вращательного движения относительно неподвижной оси: , , (3.26)
Где - угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры соответственно. С учетом (3.26) имеем: . (3.27) Здесь и m – модуль и угол отклонения вектора от отрезка соответственно. Вектор , независимо от направления вращения фигуры (рис. 3.18, рис. 3.19), направлен от точки В к мгновенной оси вращения, проходящей через точку А. Другими словами, вектор всегда направлен от точки В к точке А, принятой за полюс. Направление вектора (рис. 3.18, рис. 3.19) соответствует направлению дуговой стрелки углового ускорения и не зависит от направления вращения фигуры, то есть не зависит от направления дуговой стрелки . Если точка А, которую решено принять за полюс, движется по известной криволинейной траектории, то и вектор можно разложить на касательную и нормальную составляющие , а формула (3.25) примет вид: (3.28)
И последнее, если и точка В движется по известной криволинейной траектории, то формулу (3.25) можно будет записать в самом общем виде:
(3.29)
Уравнения (3.24) - (3.29) позволяют вычислить вектор ускорения произвольной точки В плоской фигуры. При этом предполагается, что все другие векторы, входящие в эти уравнения, или известны заранее, или могут быть вычислены по исходным данным задачи. Но совершенно очевидно, что эти уравнения справедливы и для случая, когда вектор известен. В этом случае они позволяют найти любой другой один вектор по известным остальным векторам (из одного уравнения можно найти одно неизвестное).
2. Метод проекций для определения ускорений С методом проекций мы уже сталкивались при обсуждении методов определения скоростей. С математической стороны здесь все делается так же, но применительно к другим механическим уравнениям. Введем на плоскости некоторую прямоугольную систему координат . Начало координат О, и направление осей выбираются произвольно. Спроецировав любое из уравнений (3.24)-(3.29) на эти оси, получают соответствующие уравнения метода проекций. Например, векторное уравнение (3.29) заменится двумя скалярными уравнениями:
, . (3.30)
Все входящие в эти уравнения величины – это проекции соответствующих векторов. Из системы уравнений (3.30) могут быть определены любые две входящие в них величины. Остальные величины должны быть известны заранее. Если, например, из системы (3.30) определены проекции вектора ускорения точки В - , то модуль вектора ускорения находится по формуле: = . (3.31) Направление вектора в принятой системе координат можно установить по проекциям . Выбор осей координат не влияет на конечный результат, но может существенно облегчить или затруднить вычисления Пример 3.11. Стержень движется в плоскости. В данный момент времени точки имеет ускорение , угловая скорость стержня , угловое ускорение . Направление угловой скорости и углового ускорения показаны дуговыми стрелками на рисунке 1 к примеру. Определить величину ускорения точки стержня, если длина его , а модуль вектора ускорения .
Решение. Стержень в данный момент времени вращается замедленно, так как и имеют противоположные направления. За полюс примем точку , ускорение которой известно. Это единственная причина для выбора полюса в точке . По (3.25) + . Это уравнение позволяет определиться с направлением соответствующих векторов ускорений на плоскости в данный момент времени. Направление вектора дано в условии примера. Направление вектора определено по направлению . Вектор нормального ускорения всегда направлен к выбранному полюсу. Модули двух последних векторов вычисляются по формулам (3.17). , . по условию примера. Далее воспользуемся методом проекций. Введем оси координат, показанные на рисунке 2 к примеру, и спроецируем векторное уравнение (3.25) на эти оси. Получим:
, , (*) где , = , , , , . Удачный выбор осей координат существенно облегчил нахождение проекций, многие из них равны нулю. Окончательно из (*) получим , , Ответ:
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 575; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.117.63 (0.013 с.) |