Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Задача Ш. – Л. для обыкновенных д у 2 порядка. Свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма - Лиувилля.
Задача Штурма-Лиувилля является специальной краевой задачей для обыкновенных дифференциальных уравнений и рассматривается как вспомогательная задача, используемая в дальнейшем для решения смешанных задач для уравнений с частными производными. На оси рассмотрим отрезок , для которого сформулируем краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями на концах отрезка в точках , : , , (3.30) , , (3.31) где - искомая функция, ; - заданные действительные функции, , , , , , ; - заданные действительные постоянные, , ; - числовой параметр, который подлежит определению.Заметим, что задача (3.30), (3.31) всегда имеет тривиальное решение, то есть . Таким образом, задача (3.30), (3.31) сводится к отысканию всех собственных значений и всех собственных функций. Введем оператор , называемый дифференциальным оператором Штурма-Лиувилля. Совокупность всех собственных значений называется спектром дифференциального оператора с граничными условиями (3.31). Свойства собственных значений и собственных функций. Свойство 3.1. Для задачи (3.30), (3.31) существует бесконечная дискретная последовательность собственных значений и соответствующая последовательность собственных функций , такая, что , , (3.35) , . (3.36) Будем считать, что числа упорядочены по возрастанию: ( при . Свойство 3.2. Каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция с точностью до постоянного множителя. Свойство 3.3. Для собственных функций , соответствующих различным собственным значениям задачи (3.30), (3.31), выполнены условия ортогональности с весом на отрезке : , (3.37) где - символ Кронекера, - норма функции .
18. М-д разделения перем. при решении смеш. задач для уравнения кол. струны. Реш. 1 смеш. задачи, обосн. реш. Рассмотрим смешанную задачу в , (3.13) , , (3.14) , . (3.15) для однородного уравнения колебаний струны общего вида с однородными граничными условиями: в , (3.41) , , , (3.42) , , , (3.43) где - оператор Штурма-Лиувилля. Предполагается, что на функции и коэффициенты накладываются ограничения аналогичные ограничениям задачи , , (3.30)
, , (3.31) , при этом коэффициенты не зависят от времени . Для решения задачи (3.41)-(3.43) применим метод разделения переменных, который состоит в отыскании решений уравнения (3.41) вида . (3.44) Подставив функцию (3.44) в уравнение (3.41), получим равенство .Разделим это равенство на , отделяя функции зависящие от и функции зависящие от , тогда .Выражение слева зависит только от , а выражение справа - только от , поэтому это равенство имеет место тогда и только тогда, когда эти выражения являются постоянными, то ест ,где - постоянная разделения. В результате получим два обыкновенных дифференциальных уравнения , (3.45) . (3.46) Потребуем, чтобы решения (3.44) удовлетворяли граничным условиям (3.43). Подставляя (3.44) в условия (3.43), получаем , Так как , то выполнены граничные условия для функ- ции : , . Добавляя эти условия к уравнению (3.46), получим задачу Штурма-Лиувилля (3.30), (3.31).Вычислим , положив в уравнении (3.45) .Общее решение , ,Общее решение , где - константы. Таким образом, получена бесконечная последовательность частных решений вида (3.44) уравнения (3.41), которые удовлетворяют граничным условиям (3.43): , (3.48) Из решений (3.48) образуем общее решение уравнения (3.41) в виде ряда . (3.49)Учитывая формулу (3.40), вычислим . (3.50) , , , (3.51) Таким образом, решение задачи (3.41)-(3.43) представлено в виде ряда (3.49) с коэффициентами (3.50), (3.51).
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 430; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.219.215.75 (0.009 с.) |