Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Классификация уравнений второго порядка со многими независимыми переменными.
Рассм. линейные ур-ния 2-го порядка n независимых переменных: (19), где x= () точка обл-ти Ω , = (коэф. симметричны). Опр. Выражение наз-ся главной частью ур-ния (19). По главной части ур-ния(19) построим полином P(t;x): P(t;x) = (21). Полином (21) наз-ся характерестическим полиномом ур-ния с частными производ. (19)(УЧП). Он представляет собой квадратичную форму с переменными коэф. Зафиксируем некот. точку тогда многочлен P(t; ) представляет собой квадратичную форму с постоянными коэф. Рассм. некоторую поверхность Г<Ω кот. задаётся ур-нием: где - дважды непрерывно-диф. на обл-ти (). Опр. Поверхность Г заданная ур-нием(22) наз-ся характеристической поверхностью ур-ния(19), если во всех точках поверхности Г ф-ция удовлетворяет ур-нию: (23). Ур-ние (23) наз-ся ур-нием характеристик дляУЧП (19). Классификацию ур-ния (19) в т. осуществим с помощью квадратичной формы (21) в зависимости от того какой канонический вид имеет эта квадратичная форма. Опр. Ур-ние(19) к эллиптическому типу в т. если в этой точке квадратич. форма(21) P(t; ) знакоопределённая, т.е при приведении её к сумме квадратов все коэф.равны либо 1, либо -1. Опр. Ур-ние (19) наз-ся ур-нием гиперболического типа в т. , если в этой точке приведение квадратичной формы P(t; )к сумме квадратов даёт либо один полож. остальные отриц., либо один отриц. все остальные полож. коэф., нулевых нет. Опр. Ур-ние (19) в т. принадлежит к ультрогиперболическому типу, если в т. после приведения квадратичной формы P(t; ) к сумме квадратов получаем более одного полож. или более одного отриц. коэф., нулевых нет. Опр. Ур-ние (19) в т. принадлежит к параболическому типу если в этой точке приведение квадратичной формы P(t; ) к сумме квадратов даёт хотя бы один нулевой коэф., а ненулевые коэф. имеют одинаковые знаки. Опр. Ур-ние (19) к эллиптическому типу (гиперболическому, ультрогиперболическому, параболическому) на обл-ти Ω если в каждой точке этой обл-ти оно к эллиптическому(гиперболическому, ультрогиперболическому, параболическому) типам. Корректно поставленные задачи. Корректность задачи Коши для уравнения колебаний струны. Пример Адамара некорректно поставленной задачи Коши. Учитывая общую постановку з.Коши, сформулируем з.Коши для ур-ия второго порядка с двумя независимыми переменными, т.е в пр-ве R2:
L(u) +b в D, (1) (2) где D-плоская область в R2; Г-линия внутри области D, Г С2; Для строгой матем.постановки задачи Коши необходимо ввести след.прост-ва ф-ий: V1(Г)-прос-ва начальных ф-ий ; V(D)-прос-во ф-ий u, в котором отыскивается решение задачи Коши. Для классических решений V(D) C2(D). Опр. З.Коши поставлена корректно в прос-вах V1, V2, V, если выполнены три условия корректности: 1)для любых нач.ф-ий сущ.решение задачи u ; 2) для любых нач.ф-ий решение единственно в прост-ве V; 3) решение задачи u непрерывно зависит от начальных ф-ий . Если не выполнено хотя бы одно из условий корректности, то задача называется некорректно поставленной. Если же не выполнено третье условие корректности, то задача Коши наз-ся неустойчивой по нач.данным. Процедура построения решения задачи Коши для ур.колебания струны показывает, что любое классическое решение з.Коши для ур.колебания струны представимо формулой Даламбера ( + . Отсюда следует существование и единственность решения задачи в прос-ве V. Пример Адамара. На плоскости R2 рассмотрим эллиптическое ур-ие Лапласа, для которого поставим з.Коши с нач.усл. на линии Г(у=0): в области D= , (3) (4). Ур-ие (3) явл-ся ур-ем типа Ковалевской, поэтому в случае аналитических ф-ий на основании теоремы Ковалевской заключаем, что задача (3),(4) имеет единтств. аналитическое решение в некоторой достаточно малой окрестности линии Г. Т.о, первые два условия корректности выполнены. Исследуем третье условие корректности, т.е условие о непрерывной зависимости от начальных ф-ий. Для этого рассмотрим две задачи Коши с различными нач.усл. специального вида: , (5)
где n-фиксированный положит.параметр. Решения данных задач определяются выражениями u1=0, u2= Введем прост-ва ф-ий V1=V2=C0A(R1), V= C0A(D), где C0A- прос-во ограниченных аналитических ф-ий. (u1,u2)= < (6) Очевидно, что нер-во (6) не выполнено при дост. Больших значениях пар-ра n, т.к. Т.о., з.Коши для эллиптического ур-ия (3), (4) поставлена некорректно, т.к. не выполнено третье условие корректности из определения. 11. Метод интегральных преобразований для решения задачи Коши для параболических уравнений.
Рассм. з.Коши для однор. параб. ур-ия с пост.коэф.: + (1) (2). с нач.усл.(2), где ф-ия -ограничена и непрерывна на . Решим з.Коши методом интегральных преобр.. Применим преобр. Фурье по аргументу х: U(t)=F[u]. Формально изображение U зависит не только от аргумента t, но и переменной . Однако эту переменную будем считать пар-ром и не вкл.ее в число аргументов ф-ии U. Используя св-ва преобр. Фурье: F[ ]= F[ ]= -образ ф-ии . Тогда преобразованная задача примет вид: =()U, U(0)= . Получим з.Коши для обыкн. ДУ с разделяющимися перем. U(t)= -решение ДУ. Возвращаясь к з.Коши (1),(2) получим: u(t,x)= G(x,y,t)= (3) Непосредственно вычисляя интеграл, получим: = u(t,x)= (4) ф-ия G, введенная по правилу(3) наз-ся фундамент. решением ур-ия (1). С помощью него, решение з.Коши записывается в виде(4). Аналогично происходит применение интегральных преобразований к другим задачам мат.физики.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 424; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.140.198.43 (0.009 с.) |