Пространство осн. ф-й. Обобщенные ф-и и их сво-ва.

Пусть x – вектор пространства , x . На нем зададим финитную функцию , т.е. фун-ю, для кот.сущ.-т. Открытое ограниченное множество U , для кот. . Замкнутое множество -носитель финитной функции . Множество всех финитных функций является линейным пространством, которое обозначается D(. Рассмотрим .

Опр. Последоват-ть называется сходящейся к финитной функции , т.е. , если выполнены условия:1) 3) существуют ограниченное замкнутое множество .

Про-во с указанной сходимостью будем называть пространством основных функций. На этом пространстве введем линейный функционал , где .

Линейный функционал , значит, что .(1)

Опр.Обобщенной функцией будем называть линейный непрерывный функционал на пространстве функций.

Непрерывный функционал означает, что для любой последовательности функций выполнены условия .(2)

Исходя из (1) и (2) можем утверждать, что множество всех обобщенных функций образует линейное пространство, которое обозначим .

Рассмотрим произв. локально суммируемую функцию g(x), . С помощью «обычной» функции построим лин.функционал g . Определив его следующим образом . Линейный функционал вытекает из свойства линейности определения n-мерного интеграла Римана, а непрерывн.из рассуждений.

.

Т.о. по обычной функции g мы построили функционал g, который является обобщенной функцией. Значит функцию g мы можем рассм.как обобщенную функцию. Такие обобщенные функции будем называть регулярными обобщенными функциями. Все остальные обобщенные функции – сингулярными.

 

14. Сингулярные обобщенные функции, -функция Дирака. Обобщенная производная, обобщенные решения уравнений с частными производными.

Примером сингулярной обобщенной функции может служить -функция Дирака. Зафиксируем нек.точку и построим функционал , кот.действ.на ф-ию след.образом = = .

В частном случае, если точка – нач.координата, то .

Из св-в интегр. Вытекает, что функционал -лин.и непрерывн., а значит он явл.обобщенной функцией. Такая фун. И наз-ся -функция Дирака.

Рассмотрим открытое мн-во . Будем говорить, что обобщенная фун-я f=0 на , если выполнены условия , то (f, )=0.

Обозначим -наибольшее открытое множество, на котором обобщенная функция f=0, тогда насителем обобщенной ф-ии f будем называть замкнутое множество . Из зад. –функции Дирака вытекает . Носителем будет . Вне этой точки фун-я Дирака зануляется.

Рассмотрим обобщенную фун-ю вида , где А- невырожденная матрица. Действие функционала на функцию осуществляется след.образом: . (1)

В интеграле (1) выполнена замена переменной y=Ax, тогда

|I|dy=|I|. Получим соотношение . Определим произв. . Обобщенная фу-я . (2)

Т.к. фун-я из , то прав.часть (2) определена, а тем самым и определен функционал , кот. Явл. Непрерывн., т.е. является обобщенной ф-ей. Формула (2) позволяет найти произведение от любой огранич.функции.

Опр. Будем говорить, что функция , где , если сама функция и всевозможные , , - пространство Соболева.

Рассмотрим ДУ с ч.п. .(1)

Опр. Обобщенная функция u наз.обобщенным решением ур.(1), если выполн.тождества -сопряженный дифференциальный оператор к L.