Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Классификация уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Системы уравнений с частными производными.Стр 1 из 9Следующая ⇒
Предмет дифференциальных уравнений с частными производными. Историческое развитие исследований уравнений с частными производными, их использование в методах математического моделирования реальности. Современное состояние науки. При математ. моделировании различных явлений получ-ся ДУ, в кот. входит неизвестная ф-ция, зависящая от многих независимых переменных и, следоват., ур-ние, поскольку оно явл-ся ДУ, содержит частные производные от неизвестной ф-ции. Т.к. почти все физич. явления описыв-ся ДУвЧП, то часто в тех случаях, когда ДУ описывает физич. процесс, эти ур-ния наз-ся ур-ниями мат. физики. Однако надо иметь в виду, что ДУвЧП опис-ся не только физич., но и химич.,биологич. и экономич. процессы и явления. Типичный пример – ур-ние теплопроводности. Большой вклад в развитие ДУвЧП внесли многие математики мира. Для решения задач ДУвЧП были созданы новые разделы: функциональный анализ, теория обобщенных ф-ций, теория новых функциональных простр-в. Отметим самые известные имена в истории развития ДУвЧП. И.Г.Петровский положил начало развития общей теории линейных систем в частных производных, а также их классификацию. С.Л.Соболев ввел новое понятие – обобщенное решение дифф. ур-ния; им были введены и изучены новые функциональные пространства. Исследования в области ДУвЧП идут в двух направлениях. С одной стороны: создается общая теория ДУвЧП, т.е. для общих ур-ний и граничных условий изучаются вопрося существования решений, их единственность и устойчивость. С другой стороны: существует много ДУвЧП, описывающих те или иные физические или биологические явления, решения которых нужно изучить при различных граничных условиях, в том числе изучить качественные свойства этих решений.
2.Основные понятия об уравнениях с частными производными. Классические решения простейших уравнений с частными производными. Общее решение гиперболических уравнений второго порядка с двумя переменными. Рассмотр. n-мерное евклидово простр-во если x , то она имеет координаты x=x(x1,…,xn). Пусть . В этой обл. рассмотрим ф-цию u=u(x)=u(x1, …xn). Опр. Множ-во ф-ций ( наз-ся простр-вом m раз непрер-диффер ф-ций на обл Ω, т.е. u (, то это значит, что на обл.Ω сама ф-ция определена и непрерывна, а также существ и непрер все её частные производн на обл Ω до порядка n включительно.В случае m= имеем простр-во любое число раз непрер-диффер ф-ций.
Рассмотр произв ф-цию F(x1,..,xn,z1,…,zn) .Будем предполагать, что существ и непрер частн производн: ≠0. Опр. Диффер ур-нием с частн производн относит ф-ции u=u(x) будем назыв рав-во: F(x,u, .(1) C помощью ф-ции F введем диффер оператор L он действует на ф-цию u: L[u]= F(x,u, .Т.о. в результате действия оператора L на ф-цию u получаем непрерывную ф-цию.Тогда ур-ние (1)можем записать в виде: L[u]=0. Опр. Классическим решением ур-ния(1)на обл Ω назыв такую ф-цию u (, кот при подстановке в рав-во (1) обращает его в верное тождество. Из записи (1) что в ур-ние (1) входит производная со старшим порядком m. Поэтому будем говорить, что порядок ур-ния равен m, или степень оператора L равна m. Ур-ние (1) иногда можно записать в виде: L[u]=f(x).Такое ур-ние назывюлинейным ур-нием с частнами производнами, если для оператора L выполнены условия линейности: L[αu]=αL[u], α u ( (2) L[u1+u2]=L[u1]+L[u2] (3) Утвержд. Любое линейн ур-ние с частн производн порядка m имеет вид: =f(x) (4) Т.е.L[u]= , k-мультииндекс с координ k=(k1,k2,…,kn); |k|=k1+k1+…+kn. Если в ур-нии (4) ф-ция f(x)=0, то такое ур-ние наз-ся однородным, в противн случ неоднородным.
Корректно поставленные задачи. Корректность задачи Коши для уравнения колебаний струны. Пример Адамара некорректно поставленной задачи Коши. Учитывая общую постановку з.Коши, сформулируем з.Коши для ур-ия второго порядка с двумя независимыми переменными, т.е в пр-ве R2: L(u) +b в D, (1) (2) где D-плоская область в R2; Г-линия внутри области D, Г С2; Для строгой матем.постановки задачи Коши необходимо ввести след.прост-ва ф-ий: V1(Г)-прос-ва начальных ф-ий ; V(D)-прос-во ф-ий u, в котором отыскивается решение задачи Коши. Для классических решений V(D) C2(D). Опр. З.Коши поставлена корректно в прос-вах V1, V2, V, если выполнены три условия корректности: 1)для любых нач.ф-ий сущ.решение задачи u ; 2) для любых нач.ф-ий решение единственно в прост-ве V; 3) решение задачи u непрерывно зависит от начальных ф-ий . Если не выполнено хотя бы одно из условий корректности, то задача называется некорректно поставленной. Если же не выполнено третье условие корректности, то задача Коши наз-ся неустойчивой по нач.данным.
Процедура построения решения задачи Коши для ур.колебания струны показывает, что любое классическое решение з.Коши для ур.колебания струны представимо формулой Даламбера ( + . Отсюда следует существование и единственность решения задачи в прос-ве V. Пример Адамара. На плоскости R2 рассмотрим эллиптическое ур-ие Лапласа, для которого поставим з.Коши с нач.усл. на линии Г(у=0): в области D= , (3) (4). Ур-ие (3) явл-ся ур-ем типа Ковалевской, поэтому в случае аналитических ф-ий на основании теоремы Ковалевской заключаем, что задача (3),(4) имеет единтств. аналитическое решение в некоторой достаточно малой окрестности линии Г. Т.о, первые два условия корректности выполнены. Исследуем третье условие корректности, т.е условие о непрерывной зависимости от начальных ф-ий. Для этого рассмотрим две задачи Коши с различными нач.усл. специального вида: , (5)
где n-фиксированный положит.параметр. Решения данных задач определяются выражениями u1=0, u2= Введем прост-ва ф-ий V1=V2=C0A(R1), V= C0A(D), где C0A- прос-во ограниченных аналитических ф-ий. (u1,u2)= < (6) Очевидно, что нер-во (6) не выполнено при дост. Больших значениях пар-ра n, т.к. Т.о., з.Коши для эллиптического ур-ия (3), (4) поставлена некорректно, т.к. не выполнено третье условие корректности из определения. 11. Метод интегральных преобразований для решения задачи Коши для параболических уравнений. Рассм. з.Коши для однор. параб. ур-ия с пост.коэф.: + (1) (2). с нач.усл.(2), где ф-ия -ограничена и непрерывна на . Решим з.Коши методом интегральных преобр.. Применим преобр. Фурье по аргументу х: U(t)=F[u]. Формально изображение U зависит не только от аргумента t, но и переменной . Однако эту переменную будем считать пар-ром и не вкл.ее в число аргументов ф-ии U. Используя св-ва преобр. Фурье: F[ ]= F[ ]= -образ ф-ии . Тогда преобразованная задача примет вид: =()U, U(0)= . Получим з.Коши для обыкн. ДУ с разделяющимися перем. U(t)= -решение ДУ. Возвращаясь к з.Коши (1),(2) получим: u(t,x)= G(x,y,t)= (3) Непосредственно вычисляя интеграл, получим: = u(t,x)= (4) ф-ия G, введенная по правилу(3) наз-ся фундамент. решением ур-ия (1). С помощью него, решение з.Коши записывается в виде(4). Аналогично происходит применение интегральных преобразований к другим задачам мат.физики.
Первая смешанная задача. в области , (3.2) , , , (3.3) , , . (3.4)
При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.2) в области , начальным условиям (3.3) и граничным условиям первого рода (3.4). ■ Третья смешанная задача. в области , (3.10) , , (3.11) , . (3.12)
Первая смешанная задача. в области , (2) , , (3) , , . (4) При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (2) в области , начальному условию (3) и граничным усл первого рода (4). Функции , если . Условия согласования: . Задача (2)-(4) описывает процесс распространения тепла в тонком стержне длины , расположенном вдоль отрезка .Функция задает температуру стержня в сечении в момент времени . Граничные условия (4) означают, что в торцах стержня поддерживаются заданные температуры , . Функция в начальном условии (3) задает температуру стержня в каждом сечении в начальный момент времени .
Вторая смешанная задача. в области , (5) , , (6) , , . (7) При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (5) в области , начальному условию (6) и граничным усл второго рода (7). Условия согласования: . Граничные условия (7) означают, что в торцах стержня заданы тепловые потоки. Третья смешанная задача. в области , (8) , (9) , . (10) При заданных функциях , требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (8) в области , начальному условию (9) и граничным усл третьего рода (10). Условия согласования: , . Граничные условия (10) моделируют теплообмен стержня через торцы с окружающей средой. Заметим, что для существования классических решений сформулированных задач необходимо на начальные и граничные функции и на правую часть уравнения теплопроводности накладывать некоторые дополнительные условия. Предмет дифференциальных уравнений с частными производными. Историческое развитие исследований уравнений с частными производными, их использование в методах математического моделирования реальности. Современное состояние науки. При математ. моделировании различных явлений получ-ся ДУ, в кот. входит неизвестная ф-ция, зависящая от многих независимых переменных и, следоват., ур-ние, поскольку оно явл-ся ДУ, содержит частные производные от неизвестной ф-ции. Т.к. почти все физич. явления описыв-ся ДУвЧП, то часто в тех случаях, когда ДУ описывает физич. процесс, эти ур-ния наз-ся ур-ниями мат. физики. Однако надо иметь в виду, что ДУвЧП опис-ся не только физич., но и химич.,биологич. и экономич. процессы и явления. Типичный пример – ур-ние теплопроводности. Большой вклад в развитие ДУвЧП внесли многие математики мира. Для решения задач ДУвЧП были созданы новые разделы: функциональный анализ, теория обобщенных ф-ций, теория новых функциональных простр-в. Отметим самые известные имена в истории развития ДУвЧП. И.Г.Петровский положил начало развития общей теории линейных систем в частных производных, а также их классификацию. С.Л.Соболев ввел новое понятие – обобщенное решение дифф. ур-ния; им были введены и изучены новые функциональные пространства. Исследования в области ДУвЧП идут в двух направлениях. С одной стороны: создается общая теория ДУвЧП, т.е. для общих ур-ний и граничных условий изучаются вопрося существования решений, их единственность и устойчивость. С другой стороны: существует много ДУвЧП, описывающих те или иные физические или биологические явления, решения которых нужно изучить при различных граничных условиях, в том числе изучить качественные свойства этих решений.
2.Основные понятия об уравнениях с частными производными. Классические решения простейших уравнений с частными производными. Общее решение гиперболических уравнений второго порядка с двумя переменными. Рассмотр. n-мерное евклидово простр-во если x , то она имеет координаты x=x(x1,…,xn). Пусть . В этой обл. рассмотрим ф-цию u=u(x)=u(x1, …xn). Опр. Множ-во ф-ций ( наз-ся простр-вом m раз непрер-диффер ф-ций на обл Ω, т.е. u (, то это значит, что на обл.Ω сама ф-ция определена и непрерывна, а также существ и непрер все её частные производн на обл Ω до порядка n включительно.В случае m= имеем простр-во любое число раз непрер-диффер ф-ций. Рассмотр произв ф-цию F(x1,..,xn,z1,…,zn) .Будем предполагать, что существ и непрер частн производн: ≠0. Опр. Диффер ур-нием с частн производн относит ф-ции u=u(x) будем назыв рав-во: F(x,u, .(1) C помощью ф-ции F введем диффер оператор L он действует на ф-цию u: L[u]= F(x,u, .Т.о. в результате действия оператора L на ф-цию u получаем непрерывную ф-цию.Тогда ур-ние (1)можем записать в виде: L[u]=0. Опр. Классическим решением ур-ния(1)на обл Ω назыв такую ф-цию u (, кот при подстановке в рав-во (1) обращает его в верное тождество. Из записи (1) что в ур-ние (1) входит производная со старшим порядком m. Поэтому будем говорить, что порядок ур-ния равен m, или степень оператора L равна m. Ур-ние (1) иногда можно записать в виде: L[u]=f(x).Такое ур-ние назывюлинейным ур-нием с частнами производнами, если для оператора L выполнены условия линейности: L[αu]=αL[u], α u ( (2) L[u1+u2]=L[u1]+L[u2] (3) Утвержд. Любое линейн ур-ние с частн производн порядка m имеет вид: =f(x) (4) Т.е.L[u]= , k-мультииндекс с координ k=(k1,k2,…,kn); |k|=k1+k1+…+kn. Если в ур-нии (4) ф-ция f(x)=0, то такое ур-ние наз-ся однородным, в противн случ неоднородным.
Классификация уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Системы уравнений с частными производными. L[u]= + + + + +c(x,y)u=f(x,y) (6) Для классификации ур-ний введем в рассмотрение вспомогат ф-цию:D(x,y)= - -дискриминант ур-ния (6). Опр. В зависимости от дискриминанта ур-ние (6) наз-ся: 1)гиперболическим в т.(, ) , если D(, 2)параболическим в т.(, ) , если D(, 3) эллиптическим в т.(, ) , если D(, Графически ур-ние D(, определ некот кривую l,кот может делить обл Ω на 2 подобл , где D>0 и D<0 соотв, тогда на ур-ние (6) гиперболич типа, на - эллиптич типа, на l –параболич типа.В этом случае будем говорить, что на всей обл Ω ур-ние (6) смешанного типа. Тогда обл - обл эллиптичности, линия l-линияпараболичности. Пример: 1)ур-ние колебаний струны: - =f(t,x) 2)одномерное ур-ние теплопроводности: - =f(t,x) 3)ур-ние Пуассона: + =f(t,x) Системы. Рассмотр kнеизвестных ф-ций , и k вспомогательных ф-ций ,…, ,обладающих св-вами аналогичными св-вам ф-ции F. Опр. Системой ДУ с частными производными относит kнеизвестных ф-ций (i=1,2,…,k) наз-ся k ур-ний:
)=0 … (1.9) )=0 Сис-ма ур-ний (1,9) линейная, если , где Классификация систем проводится аналогично как классификация уравнений.
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 319; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.143.168.172 (0.076 с.) |