Статически неопределимые балки при изгибе

 

Как уже ранее мы отмечали, в случае действия нагрузки на балку в одной плоскости, минимальное число связей, обеспечивающее неподвижность балки по отношению к основанию, равно трем. Эти три связи являются абсолютно необходимыми. Удаление хотя бы одной из таких связей превращает балку в геометрически изменяемую систему (механизм). Поскольку для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия, то балки, закрепленные тремя связями, являются статически определимыми. Исключение составляют многопролетные шарнирные балки, которые могут быть статически определимыми и при числе внешних связей больше трех (об этом выше уже говорилось).

Очень часто, для обеспечения требуемой прочности и жесткости балки, оказывается необходимым увеличить число опорных закреплений, т.е. ввести некоторые «лишние» связи.

В балках с «лишними» связями все реакции нельзя определить только из уравнений равновесия. Такие балки будут статически неопределимыми.

Число «лишних» неизвестных определяет степень статической неопределимости системы.

Для раскрытия статической неопределимости балок разработано несколько методов. Рассмотрим один из них – с использованием метода Клебша для определения деформации балки. Порядок расчета таких балок заключается в следующем:

1. Составляем обычные три уравнения статики для всей балки (как при определении опорных реакций).

2. Для всех участков балки с учетом правил метода Клебша записываем дифференциальные уравнения (5.20) и интегрируем их.

3. Из условий закрепления балки составляем дополнительные уравнения, которые с уравнениями статики дают необходимую систему алгебраических уравнений для определения всех опорных реакций и констант и .

После определения всех опорных реакций, расчет балки на прочность и жесткость ведется обычным (как показано выше) путем.

Пример 5.4: Здесь четыре опорных реакции: и . Задача однажды статически неопределима.

1. Уравнения статики:

(7)

(8)

2. Уравнения деформации балки. Здесь один участок лев. часть

а)

в)

с)

3. Рассмотрим закрепление балки:

Сечение А (заделка), при . Подставим в уравнение в), найдем . Сечение А, при и . Подставим в с) найдем .

Сечение В, опора, при , . Подставим в с)

(9)

Решаем уравнения (7)¸(9) и находим , .

§ 5.12. Энергия деформации

 

От в точках сечения возникают

и . (10)

От возникают , определяемый формулой Журавского и -по закону Гука при сдвиге.

Как показано выше в разделе 3 (3.16), при действии и удельная энергия деформации , аналогично от и , . В общем случае . Анализ показал, что много меньше , поэтому .

В объеме тела энергия деформации . Подставляя сюда (10), получим

.

В объеме всего бруса, площадью сечения и длиной l, полную энергию U найдем интегрированием по и l:

.

 

Здесь учтено, что и по , .

Итак, при плоском изгибе

. (5.21)

В случае чистого изгиба, когда по l и балка постоянного сечения , получим из (5.21):

. (5.22)