Интегрирование дифференциального уравнения упругой линии

Для того, чтобы получить аналитические выражения для прогибов и углов поворота, необходимо найти решение дифференциального уравнения (5.20). Правая часть уравнения является известной функцией для каждой конкретной балки с конкретным загружением. Интегрируя его один раз, получим:

.

Это выражение определяет закон изменения углов поворота сечений балки.

После повторного интегрирования найдем уравнение оси балки

.

Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий.

Уравнения (5.20) записываются для каждого участка балки и интегрируются. При большом числе участков определение const и осложняется, т.к. приходится решать большое число совместных алгебраических уравнений, из которых они вычисляются. Поэтому для таких балок были разработаны другие методы.

Один из таких методов сводится к уравниванию однотипных const интегрирования, для чего при составлении аналитических выражений изгибающих моментов по участкам балки необходимо соблюдать ряд условий.

 

Метод уравнивания произвольных постоянных (метод Клебша)

Равенство между собой произвольных постоянных ( и ) при большом числе участков балки возможно при соблюдении следующих условий:

1) Отсчет координат всех участков должен вестись от одного конца балки.

2) Все составляющие выражения предыдущего участка должны сохраняться неизменными в выражениях последующего участка. Поэтому, если на каком-то участке появляется распределенная нагрузка , не идущая до конца балки, то ее надо продлить до конца балки, добавив на этих же участках такую же распределенную нагрузку с противоположным знаком.

3) Сосредоточенные моменты вводятся в виде , где расстояние от начала балки до сечения, где приложены .

4) Интегрирование дифференциальных уравнений надо вести без раскрытия скобок.

Поясним выполнение перечисленных условий на примере:

Пример 5.3: Дано: 1,5м; 4,5м; 4м; 20кН; 45кН/м; 20кНм; кН/см²; =16кН/см²; =10кН/см²; (рис.5.11).

На рис. 5.11 сплошными линиями и перечеркнутыми показаны нагрузки заданные, а пунктиром показаны добавки нагрузок согласно п.2 методу Клебша. Сначала учитываем только заданные нагрузки . По правилам, показанным при решении примера 5.1 на рис. 5.5, находим:

 

Рис.5.11

 

1) Из уравнений равновесия всей балки при заданных нагрузках находим все опорные реакции: -154,12кН; 84,12кН; .

2) Строим эпюру и эпюру , из которых находим -105,68кНм и -106,62кН.

Для балки подберем стандартный двутавр:

Из условия прочности балки (5.17) находим

660,5см².

Из таблиц сортамента двутавров видно, что лежит между: №33 =597см³ и №36 =743см³. Cначала проверим №33 с учетом допускаемой перегрузки 5% от , т.е. =16¸16,8кН/см²:

17,7кН/см².

Итак, №33 не подходит балке даже с учетом перегрузки.

Проверяем №36:

16кН/см².

Проверяем №36 по условию прочности (5.18), подставляя данные из сортамента: 0,75см; 423см³; 13380см⁴:

10кН/см².

Итак, окончательно для балки выбираем двутавр №36, который отвечает всем условиям прочности.

Для определения деформации балки, т.е. – углов поворота сечений и прогибов балки, с соблюдением условий метода Клебша для всех трех участков балки, записываем дифференциальные уравнения (5.20) и интегрируем их:

I участок левая часть (см. рис. 5.11)

I

Здесь в формуле а) первый минус – т.к. левая часть, второй минус – т.к. он стоит в (5.20)

II участок левая часть

II

Здесь слагаемое с интегрируется без раскрытия скобок согласно п.4 метода Клебша.

III участок левая часть

III

Все условия метода Клебша выполнены, поэтому должно быть: , . Для определения const и рассмотрим условия закрепления балки:

1) Сечение А, опора, т.е. при . Подставим это в формулу Iс), получим

. (5)

2) Сечение В, опора, т.е. при . Подставим это в формулу IIIс)

(6)

Решаем уравнения (5) и (6), найдем

= – 173,67, = 258,75

По формулам в) и с) на каждом участке балки вычислим и . Результаты вычислений сведем в таблицу

м			1,5
кНм^2	-173,7	-171,2	-172,8	-174,4	-112,8	-12,1	82,8	126,8	109,9
кНм^3	258,8	86,5		-88,7	-237,4	-301,3	-263,5	-152,6	-28,2

 

М				4,12
кНм^2	42,1	-31,6	-66,2	0,47»0
кНм^3	50,1	54,0		-302,2

По этим данным строим эпюру и эпюру . Из эпюры видно, что при 4м на эпюре меняется знак, а согласно зависимости (5.19) в сечении, где величина имеет экстремум. Найдем его. Расчеты показали, что при 4,12м величина =0,47, т.е. близка к нулю. В этом сечении балки = – 302,2кНм³. С учетом этого строим окончательные эпюры на рис. 5.11. (По аналогии с надо найти (на III участке при м) и вычислить ).

 

Проверка балок на жесткость

Из условий нормальной работы конструкций часто ограничивают максимальные прогибы балок. Обычно вводят следующие ограничения: допускаемые прогибы пролета балки длиной , а для консолей длиной , или эти данные берут из справочников.

Условия жесткости балки:

– в пролете

– в консолях

Проверим балку рассматриваемого примера.

Из рис. 5.11 или таблицы находим

левая консоль: 1,5м, 1см, =258,8кНм³, кН/см², 13380см⁴,

1см.

Условие жесткости консоли выполняется.

пролет: 8,5м, 2,83см,

=302,2кНм³

2,83см.

Итак: Двутавр №36 отвечает всем требованиям к прочности и жесткости рассматриваемой балки.

Если жесткость где-то не выполняется, берут следующий номер двутавра и проверяют его на жесткость.

Для определения деформаций балок разработаны и другие методы, например:

метод начальных параметров – достаточно близок к вышеизложенному методу Клебша, излагается во многих учебниках по Сопротивлению материалов.

Метод Мора – позволяет довольно просто определять деформации отдельных сечений балки (метод не аналитический). Этот метод подробно рассмотрен в разделе 14, где и приводится пример 14.3 расчета балки по

методу Мора.