Внутренние силовые факторы. Метод сечений

 

Как уже ранее было показано, внешние нагрузки, действующие на сооружение, вызывают появление в нем внутренних усилий, которые определяются уже известным методом сечений, т.е. чтобы определить внутренние силовые факторы в произвольном поперечном сечении, необходимо мысленно рассечь балку на две части плоскостью и рассмотреть равновесие одной из ее частей.

При действии на брус внешних нагрузок, расположенных в плоскости , проходящей через ось бруса и ось симметрии поперечного сечения (т.е в случае плоского изгиба), в каждом поперечном сечении бруса возникают следующие внутренние силовые факторы (ВСФ), действующие в этой же плоскости:

а) продольная сила , приложенная в центре тяжести сечения;

б) поперечная сила , проходящая через его центр тяжести;

в) изгибающий момент .

Из рис. 5.1 видно, что деформация изгиба сопровождается растяжением одних волокон и сжатием других, т.е. в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения при изгибе , а внешние поперечные силы уравновешиваются касательными напряжениями в сечениях.

В общем случае ВСФ и являются статическим эквивалентом распределенных внутренних напряжений и и связаны между собой известными зависимостями (1.6)

(5.1)

В сопротивлении материалов принято следующее правило знаков для внутренних усилий:

1. Изгибающий момент считают положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон.

2. Поперечную силу считают положительной, если она стремится повернуть вырезанный из балки элемент бесконечно малой длины по ходу часовой стрелки.

Это правило иллюстрируется на рис. 5.4, где показаны положительные направления внутренних силовых факторов как для левой, так и для правой отсеченных частей.

Рис.5.4

Необходимо обратить особое внимание на правило знаков для поперечной силы: для левой отсеченной части вниз, для правой части вверх.

Внутренние силовые факторы в поперечном сечении определяются из условия равновесия отсеченной части стержня.

Для определения ВСФ, действующих со стороны правой части бруса на левую, рассмотрим равновесие левой отсеченной части бруса (рис. 5.4).

1. Сумма проекций на вертикальную ось у дает: , откуда

.

2. Сумма моментов относительно оси х, проходящей через центр тяжести сечения (т. О), дает: , откуда

.

Нетрудно убедиться в том, что внутренние силовые факторы, действующие со стороны правой части на левую, равны по величине и противоположны по направлению силовым факторам, действующим со стороны левой части на правую.

Последние определяются из условия равновесия правой отсеченной части.

Из этих соображений можно получить следующее правило для определения внутренних силовых факторов в любом поперечном сечении балки, изложенное в разделе 1 формулы (1.5).

1. Изгибающий момент относительно центральной оси х в поперечном сечении по величине и по знаку равен сумме моментов относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к правой части балки или сумме моментов (относительно той же оси), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к левой части:

. (5.2)

При этом моменты внешних сил положительны, когда они действуют против хода часовой стрелки и для левой и для правой части.

2. Поперечная сила в сечении по величине и по знаку равна сумме проекций на ось у всех внешних сил, приложенных к правой части балки, или сумме проекций (на ту же ось у), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к левой части бруса:

. (5.3)

При этом проекции внешних сил на ось у положительны, когда они направлены вдоль оси у, т.е. вниз и для правой и для левой частей балки.

Отметим, что при определении внутренних усилий учитываются внешние моменты и силы, приложенные к балке по одну (и только одну) сторону сечения (т.е. слева или справа от сечения).

С невыполнением этого условия связано большинство ошибок при определении внутренних усилий.

 

 

§ 5.3. Дифференциальные зависимости между М_х, Q_y и q

 

Здесь – погонная (распределенная) нагрузка на балку в плоскости , она принимается положительной, если направлена вниз, т.е. вдоль оси у. В разделе 1 получены более общие дифференциальные уравнения равновесия прямого бруса (1.7), из которых в нашем случае будем использовать следующие (полагая погонный изгибающий момент):

. (5.4)

. (5.5)

Из двух полученных дифференциальных зависимостей вытекает третья:

. (5.6)