Построение эпюр изгибающих моментов и

Перерезывающих сил

 

Для расчетов на прочность необходимо отыскать опасное сечение балки, в котором действуют наибольшие ВСФ. Для этого необходимо знать закон изменения ВСФ в поперечных сечениях балки по ее длине, возникающих от действия на балку нагрузок. Этот закон можно выразить в виде аналитических зависимостей и изобразить с помощью специальных графиков, называемых эпюрами, которые в масштабе изображают значения функций и на протяжении всей балки.

Для определения этих эпюр определяют численные значения моментов и перерезывающих сил для ряда сечений и по ним строят соответствующие эпюры.

На основании зависимостей, характеризуемых выражениями (5.2) и (5.3), легко определить значения и для любого сечения, а затем построить их эпюры.

Условимся: на эпюрах и положительные ординаты откладывать вниз (т.е. вдоль оси у), а отрицательные – вверх от оси балки.

Рассмотрим несколько примеров, из которых можно усвоить технику построения эпюр и .

Пример 5.1.

Рис.5.5

Дано: Двухопорная балка с левой консолью. Нагрузки: 2кН, 1кНм, 2кНм, 1м, 2м, 1,5м, 1кН/м (рис.5.5). Решение задачи: I. Начнем с определения опорных реакций: опора В – шарнирно-подвижная, в ней может возникнуть только вертикальная реакция – направим ее

произвольно вверх. Опора А – шарнирно-неподвижная, в ней могут быть две реакции: горизонтальная и – вертикальная, нарисуем их тоже произвольно. Для определения всех реакций составим три уравнения статики для всей балки:

1) Откуда

2) Для определения составим сумму моментов относительно оси х, проходящей через т. А, т.е. . Все внешние моменты, направленные против хода часовой стрелки, считаем положительными. Все погонные нагрузки постоянные, поэтому их равнодействующие действуют в середине участков.

Откуда 1,75кН.

Реакция получилась положительной, следовательно, направив ее вверх, мы угадали ее действительное направление.

3) Для определения составим :

Откуда = 0,75кН.

Обязательно надо сделать проверку реакций, составив еще одно уравнение статики, например, , т.е. суммировать все нагрузки и найденные реакции на ось у: . Получим 0 = 0.

Итак: = 0,75кН; 1,75кН; .

II. Построение эпюр внутренних силовых факторов. В соответствии с характером конструкции балки и нагрузки делим балку на три участка. Эпюры и будем строить по участкам, используя метод сечений и формулы (5.2) и (5.3):

I участок длиной . Проведем сечение в пределах участка. Видно, что проще рассмотреть левую отсеченную часть. Тогда сечение определим расстоянием от т. D. (лев) – пределы изменения .

,

т.е. эпюра линейна, поэтому для ее построения достаточно двух точек.

,

т.е. эпюра меняется по закону квадратной параболы, поэтому необходимо не менее трех точек на ней.

Посчитаем величины и при следующих значениях :

.

Строим эпюры и на этом участке, откладывая в масштабе отрицательные значения и вверх от оси бруса.

II участок длиной . Рассмотрим тоже левую часть (лев):

Считаем:

Строим эпюры и на этом участке, учитывая, что для построения надо два значения (линейная зависимость), а для построения необходимо не менее трех значений в пределах участка (парабола).

III участок. Проводим сечение, видно, что проще рассмотреть правую отсеченную часть. В этом случае расстояние до сечения будем отсчитывать от опоры А, (правая часть):

а) ;

б) .

Считаем: .

Эпюра линейна, строим ее по двум точкам. Видно, что при некотором значении эпюра меняет знак, т.е. = 0, а согласно зависимости (5.4) в этом сечении величина принимает экстремальное значение. Подставим в формулу а) = 0 при : , отсюда 0,75 м. Подставим = 0,75 м в формулу б) и найдем = 2,28 кНм. Это будет третьей точкой для построения эпюры .

Экстремальные значения при построении эпюр вычислять обязательно.

На эпюрах ставим знаки, размерность величин, штриховка перпендикулярна к оси бруса (вертикальная).

 

Проверка построенных эпюр

Существует несколько способов проверки эпюр, в том числе с использованием зависимостей (5.4) и (5.5). Рассмотрим два самых простых способа:

1. Проверка эпюры : при движении по эпюре (ее обводке) справа – налево скачки на ней должны быть равны по величине и направлению локальным силам, приложенным к балке в этих сечениях. Проверим эпюру на рис. 5.5: в сечении А скачок вверх на 0,75кН, здесь действует 0,75кН вверх; сечение С, здесь скачок вниз от 0,75 до 2,75, т.е. на 2 кН, здесь действует 2кН вниз; в сечении В скачок от 0,75 до -1, т.е. на 1,75кН вверх, здесь действует = 1,75кН вверх; в сечении D нет скачка и нет силы.

Итак, во всех сечениях правило выполняется.

2. Проверка эпюры : скачки на эпюре по модулю должны быть равны локальным моментам, действующим на балку в этих сечениях. Проверим эпюру на рис. 5.5: в сечении А скачок на 2кНм, здесь действует 2кНм; в сечении В скачок на 1кНм, здесь приложен 1кНм; больше скачков на эпюре нет и на балке нет локальных моментов.

Итак, во всех сечениях правило выполняется. Наличие на эпюре скачка без приложенного момента на балке говорит об ошибочности эпюры .

Пример 5.2.

Криволинейный брус радиуса (арка)

Дано: 2м, 2кН, 4кН, 2кНм (рис.5.6)

K

Рис.5.6

Опорные реакции в заделке можно определить из обычных трех уравнений статики. По виду конструкции арки и ее нагрузки имеем только один участок. В произвольном месте арки делаем разрез (сечение) в т. D. Очевидно, что проще рассмотреть ту часть арки , где приложены нагрузки, тогда не надо определять все реакции опор . Положение разреза т. D определим угловой координатой (т. D надо выбрать так на рис. 5.6, чтобы угол был острым). В сечении D вводим оси так, чтобы ось была направлена по касательной к арке в т. D,а ось по радиусу. Здесь , т.е. в пределах всей арки рассматривается левая часть арки от разреза. Силы и разложим на составляющие по осям и на рис. 5.6. При этом получим два прямоугольных треугольника, в которых необходимо найти по признакам равенства углов (два угла равны, если их стороны параллельны или взаимно перпендикулярны).

Кроме и в поперечном сечении арки возникают – внутренние продольные силы, которые определяются по формулам, аналогичным (5.2) и (5.3), полученным в разделе 1.

. (5.7)

Учитывая, что мы рассматриваем левую отсеченную часть арки, по формулам (5.2), (5.3) и (5.7) получим:

(5.8)

Здесь и плечи у сил и определяются из рис. 5.6. Все эпюры криволинейны, поэтому определяем не менее трех точек на каждой эпюре по формулам (5.8):

Выбираем масштабы для и откладываем полученные значения с учетом знаков: положительные – внутрь, т.е. вдоль оси , отрицательные – наружу, против оси . В каждом сечении величины откладываются по радиусам. На каждой эпюре полученные точки соединяем плавными кривыми. Далее, при необходимости, надо уточнить эпюры с учетом следующих правил:

1. Если на эпюре меняется знак, надо найти величину , где = 0. В этом сечении, при на эпюре будет экстремум. Для этого в формулу (5.8а) подставим = 0 при и найдем угол . Далее в (5.8в) подставим и найдем . На нашей эпюре этот случай присутствует. Вычислим:

.

Отсюда и угол

= – 4,47кН.

2. Если на эпюре меняется знак (как у нас), надо найти , где = 0 по (5.8в). В этом сечении, т.е. при на эпюре и на эпюре будут экстремумы. Вычислим их:

По (5.8в) ,

и угол .

По (5.8а) и (5.8с) найдем при :

= – 4,47кН;

= – 14,94кНм.

Найденные экстремальные значения откладываем на эпюрах, и с их учетом строим окончательные эпюры и , которые показаны на рис. 5.6. На эпюрах ставятся знаки, штриховка делается по радиусам.