Дві площини збігаються, якщо виконується рівність

. (4)

У разі виконання умови (4) рівняння однієї площини можна діс­тати з рівняння іншої площини множенням на сталий множник.

Нехай дано три площини

. (5)

Вони перетинаються в одній точці у тому і тільки тому разі, коли визначник

.

Якщо , то площини можуть мати спільну пряму, коли система рівнянь (5) має нескінченну множину розв’язків, або не мати жодної спільної точки, коли система (5) не має розв’язків.

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл. 3, стор. 87 – 88.

 

Тема 8

Різні види рівнянь прямої у просторі. Кут між двома прямими у просторі. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих у просторі. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини

 

Мета заняття Вивчити різні види рівнянь прямої у просторі, умови || та ┴ двох прямих у просторі, умови || та ┴ прямої та площини, а також формулу для знаходження кута між двома прямими у просторі та кута між прямою та площиною.

Розвивати просторове мислення.

 

Студенти повинні знати: формули обчислення кута між двома прямими у просторі, міх прямою і площиною; умови перпендикулярності та паралельності двох прямих у просторі та між прямою і площиною.

Студенти повинні вміти: розв'язувати задачи на формули дляобчислення кутів та умови паралельності і перпендикулярності у просторі.

Основні питання теми

1.Параметричні рівняння прямої;

2.Канонічне рівняння прямої;

3.Рівняння прямої, що проходить через 2 дані точки;

4.Пряма, як перетин двох площин;

5.Умови || двох прямих у просторі;

6.Умови ┴ двох прямих у просторі;

7.Умови || прямої і площини;

8.Умови ┴ прямої і площини;

9.Знаходження кута між двома прямими у просторі;

10.Знаходження кута між прямою і площиною;

 

Завдання для самоперевірки

1.Написати загальні рівняння прямої. Як перейти від загальних рівнянь прямої до канонічних?

2.Як знайти кут між двома прямими в просторі? Написати умови паралельності і перпендикулярності прямих.

3.Через точку М(1;2;3) провести пряму, перпендикулярну до площини, що задана рівнянням 2х – у + 3z + 4 = 0.

4.Через задану точку А(-4;3;1) провести площину, перпендикулярно до прямої, що задана рівнянням (х – 2)/2 = (у – 1)/1 = (z + 1)/3.

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 90 – 96.

Лекція” Різні види рівнянь прямої у просторі”

Нехай дано точку М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) на прямій і вектор , паралельний цій прямій. Складемо рівняння прямої. Нехай
М (х, у, z) — довільна точка на прямій. Вектор паралельний вектору , який називається напрямним вектором прямої.

За умовою паралельності дістанемо рівняння

, (1)

яке називається канонічним рівнянням прямої.

Пряму можна визначити як результат перетину будь-яких двох площин із наведених далі трьох:

.

Останні рівняння є рівняннями проекцій прямої відповідно на координатні площини

Якщо дано дві точки М ₁(х ₁, у ₁, z ₁), М ₂(х ₂, у ₂, z ₂) на прямій, то за напрямний вектор можна взяти Тоді рівняння прямої набере вигляду

(2)

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки М ₁(1, 2, 3) і М ₂(3, 5, 7).

· З рівняння (2) маємо:

·

Якщо відомі канонічні рівняння (1), то з них можна вивести параметричні рівняння прямої. Нехай t — коефіцієнт пропорційності векторів і s, тобто .

З рівнянь

маємо рівняння

, які називаються параметричними рівняннями прямої.

(3)

 

Коли параметр t змінюється від – ¥ до + ¥, точка М (х, у, z), де х, у, z визначаються рівнянням (3), пробігає всю пряму.

Скориставшись позначеннями

рівняння прямої можна записати у векторній формі

(4)

 

Рівняння прямої у просторі

Будь-яка пряма лінія у просторі подається системою двох рівнянь які задають (коли розглядати кожне з них зокрема) дві різні площини, що проходять через цю пряму.

(1)

Рівняння (1), узяті разом, називаються загальними рівняннями прямої. Напрямний вектор цієї прямої ортогональний до кожної з нормалей

Отже, можна вважати що

Перейдемо від загального рівняння прямої

до канонічного.

· Візьмемо , та із системи рівнянь , знайдемо х ₁ = 1, у ₁ = – 5.

Покладемо , то із системи рівнянь , знайдемо х ₂ = 1, у ₂ = – 7. Канонічне рівняння прямої набере вигляду

. ·

Щоб дістати довільну площину, яка проходить через пряму (1), застосовують пучок площин:

. (2)

Площина і пряма у просторі

Будь-яке рівняння першого степеня відносно координат точки простору відображає площину. Коефіцієнти при змінних А, В, С є компонентами вектора, перпендикулярного до площини.

Кут між двома площинами і визначається за формулою:

.

Умовою їх паралельності є: , а перпендикулярності — . Відстань від точки до площини можна знайти за формулою: .

Пряма у просторі може бути визначена як перетин двох
площин:

або канонічним рівнянням:

,

де — напрямний вектор прямої, — точка, що лежить на прямій.

Пряму у просторі можна задати також параметричним рівнянням:

де t — параметр, або рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки і :

.

Звичайно, всі рівняння відповідають прямій у просторі і між ними існує певний зв’язок.

Площина і пряма у просторі можуть перетинатися під деяким кутом a, який визначається за формулою:

.

У разі виконання умови: пряма і площина па-
ралельні, а якщо — перпендикулярні. Умовою того, що пряма лежить на площині, є виконання співвідношень:

Приклад 1. Скласти рівняння площини, що проходитьчерез вісь ОZ і утворює з площиною кут 60°, і знаходження її відстані до точки .

Рівняння шуканої площини можна записати у вигляді , тому що вона проходить через вісь OZ. Використаємо другу умову задачі: , з якої одержимо рівняння: або . Остаточно маємо, що умовам задачі задовольняють дві площини: і . Точка А лежить на першій площині, тому що , а відстань її до другої площини .

Приклад 2. Знайти напрямний вектор прямої

і кути, які вона утворює з осями системи координат.

Вектори і перпендикулярні до відповідних площин, що задають рівняння прямої, тому напрямний вектор прямої розташований перпендикулярно до кожного з векторів . Згідно з означенням векторного добутку векторів

Тобто: або . Кути з осями знайдемо за формулами: ; .

Приклад 3. Показати, що прямі

і

перетинаються, і написати рівняння площини, в якій вони роз-
ташовані.

Дві прямі будуть лежати на одній площині, коли їх напрямні вектори і і вектор будуть компланарними. Точка лежить на першій прямій, а — на другій. Век­тор . Напрямний вектор
. . Отже, прямі лежать на одній площині. Для запису рівняння цієї площини знайдемо вектор . Точка лежить на цій площині. Отже, маємо: або остаточно: .

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 90 – 96.

 

Тема 9

Гіпербола. Парабола. Властивості

 

Мета заняття Вивчити означення, виведення канонічного рівняння та властивості кривих: гіпербола та парабола.

Розвивати логічне мислення.

 

Студенти повинні знати: означення гіперболи, її рівняння, властивості; означення параболи, її рівняння, властивості.

Студенти повинні вміти: розв'язувати задачі, складати різні рівняня гіперболи; розв'язувати задачі, складати різні рівняння параболи; будувати ці криві в системі координат залежно від їх рівняння.

 

Основні питання теми

1.Означення гіперболи;

2.Розташування в системі координат;

3.Виведення канонічного рівняння;

4.Властивості: осі, вершини, фокуси, асимптоти, ексцентриситет, загальне рівняння, спряжені гіперболи, рівнобічна гіпербола;

5.Означення параболи;

6.Виведення канонічного рівняння параболи;

7.Властивості: вершина, фокус, директриса, вісь симетрії;

8.Розташування параболи в системі координат залежно від її рівняння;

2.5. Криві другого порядку

До кривих другого порядку належать: коло, еліпс, гіпербола, парабола. У загальному випадку їм відповідає рівняння:

.

Шляхом перетворення системи координат із загального рівняння можна одержати канонічні рівняння кривих другого порядку:

кола: , де — координати центра кола,
а — радіус кола;

еліпса: , де — півосі еліпса;

гіперболи: , де а — дійсна, b — уявна півосі гіперболи;

параболи: , де р — параметр параболи.