Дотична площина та нормаль поверхні.

Нехай – регулярна поверхня з вектор-функцією , P є , тоді не є паралельними.

Площина D, що проходить через точку Р, паралельно до називається дотичною площиною .

Оскільки поверхня регулярна, то дотична площина визначена в будь-якій її точці (як було показано у попередньому параграфі). Дотична у точці P будь-якої кривої, що лежить на поверхні і проходить через точку Р, лежить у дотичній площині поверхні у точці Р. Пряма , що проходить через точку P є , перпендикулярно до D називається нормаллю поверхні у точці Р. Знайдемо рівняння дотичної площини та нормалі поверхні при різних аналітичних заданнях :

1. Припустимо, що поверхня задана параметричним рівнянням . Припустимо, що точка P має криволінійні координати і декартові координати , координати частинних похідних вектор-функції: (1).

Оскільки дотична площина проходить через точку P паралельно векторам , то її рівняння має вигляд: .

Знайдемо рівняння нормалі поверхні у точці Р. Оскільки вектори не перпендикулярні, то згідно означення векторного добутку , перпендикулярний , тобто перпендикулярний до дотичної площини D у точці Р. Тому цей вектор є вектором нормалі поверхні у точці Р. За допомогою (1) знайдемо його координати:

.

Тоді канонічне рівняння нормалі:

.

2. Припустимо поверхня задана неявним рівнянням: , . Оскільки , то має місце тотожність . Продиференціюємо цю тотожність:

(2)

де – значення параметру, що відповідає точці Р. Вектор називається градієнтом поверхні у точці Р.

Оскільки вектор є направляючим вектором дотичної кривої у точці Р, то рівняння (2) показує, що скалярний добуток градієнта і вектора дотичної дорівнює нулю. Тобто градієнт є ортогональним до дотичної будь-якої кривої у точці Р, що лежить на поверхні і проходить через точку Р.

Як було показано раніше, усі ці дотичні лежать у дотичній площині поверхні у точці Р. Таким чином градієнт поверхні у точці P є ортогональним до дотичної площини поверхні у точці Р, тобто градієнт у точці P – це напрямний вектор нормалі поверхні у точці Р.

Нехай P має декартові координати , тоді загальне рівняння дотичної площини поверхні у точці P має вигляд:

.

А канонічне рівняння нормалі має вигляд:

.

Перша квадратична форма регулярної поверхні

Нехай – регулярна поверхня, – її вектор-функція, що віднесена до криволінійних координат , тоді диференціал вектор-функції (тобто лінійна частина приросту цієї функції в ряду Тейлора) має вигляд:

(1), де – частинні похідні, – довільні дійсні числа, що можуть приймати скільзавгодно малі значення.

Скалярний квадрат – це: (2) називається першою квадратичною формою поверхні .

Знайдемо коефіцієнти цієї квадратичної форми. Підставляючи (1), (2), маємо:

.

Таким чином дійсно квадратична форма від змінних з коефіцієнтами:

.

Відмітимо, що взагалі коефіцієнти – це вектор-функції від . Але якщо точка поверхні фіксована, то коефіцієнти є сталими числами і значення квадратичної форми визначаються значеннями змінних. Відмітимо, що квадратична форма є додатньовизначеною, що випливає з (2), оскільки скалярний добуток приймає тільки додатні значення, крім випадку коли , а це можливо тільки коли , оскільки не є паралельними. З додатньої визначеності випливає, що у будь-якій точці :

.

Відмітимо, що крім позначення (2) для використовують також позначення . Розглядають також в якій змінними виступають похідні внутрішнього рівняння кривої . Крім того, будують за допомогою диференціалів різних вектор-функцій .

Формули для обчислення коефіцієнтів I(d)

1. Припустимо, що поверхня задана параметричним рівнянням:

.

Тоді частинні похідні мають координати . Тоді

(3)

2. Припустимо, що поверхня задана явною функцією: . Тоді

.

Тоді за формулами (3) маємо:

(4)

3. Припустимо, що поверхня задана неявним рівнянням: . Оскільки поверхня регулярна, то в будь-якій точці хоча б одна з частинних похідних функції не дорівнює нулю. Припустимо, що у точці, де розглядається , частинна похідна . Тоді згідно теореми про неявну функцію у деякому околі цієї точки поверхню можна задати явною функцією . Причому частинні похідні будуть мати вигляд: . Тоді з формули (4) отримаємо:

(5)