Движение однородного шара по шероховатой плоскости

Пусть однородный шар радиуса катится по плоскости без проскальзывания под действие силы , приложенной к центру шара, и момента сил . В точке контакта шара с плоскостью на него действует реакция связи . Тензор инерции шара относительно центра масс точки представляется шаровым тензором , где - масса шара. Теоремы о движении центра масс и об изменении момента количеств движения относительно центра масс представляются в форме

(1)

Здесь - радиус-вектор центра масс шара и его угловая скорость, - орт оси . Условие качения шара бае проскальзывания в точке контакта имеет вид

(2)

где - скорость точки контакта. Исключая реакцию связей из уравнений (1), получим уравнение

(3)

из которого определяется угловая скорость шара при заданной силе и моменте сил.

Пусть шар катится по наклонной плоскости, когда , где - угол наклона плоскости к горизонту. В этом случае уравнение (3) примет вид

Центр масс шара согласно (2) будет двигаться по закону

(4)

Описывая в наклонной плоскости параболу. Качение шара без проскальзывания обеспечивается за счет силы сухого трения в точке контакта. Компоненты реакции связи в точке контакта определяются из первого уравнения системы (1) с учетом соотношений (4)

Качение шара без проскальзывания будет возможно, если величина реакции связей не превосходит максимального значения силы трения. Это условие выражается неравенством или . Кроме этого необходимо, чтобы в начальный момент времени выполнялось условие (2) на скорость точки шара - отсутствие проскальзывания в начальный момент времени.

Рассмотрим движение шара по горизонтальной шероховатой плоскости с проскальзыванием в точке контакта, когда условие (2) не выполняется в начальный момент движения. Реакция связи в точке контакта равна

Пусть на шар не действуют внешние активные силы и моменты, кроме силы тяжести. Уравнения (1) в этом случае примут вид

(5)

Воспользуемся соотношением (2) для скорости точки контакта и найдем

Отметим, что производная единичного вектора ортогональна ему самому. Далее найдем и момент времени , когда скорость проскальзывания в точке контакта обращается в нуль. Начиная с этого момента шар будет катиться без проскальзывания согласно соотношениям (4), представленным в виде

(6)

В уравнения (6) угловое ускорение , так как плоскость горизонтальна. До момента времени из первого уравнения системы (5) найдем движение центра масс шара и его скорость

(7)

Согласно (7) центр масс шара движется по параболе и одновременно уменьшается по линейному закону модуль скорости в точке контакта шара с плоскостью.

Изменение угловой скорости шара найдем из второго уравнения системы (5) представленного в виде

После прекращения проскальзывания угловая скорость шара будет оставаться постоянной в силу соотношения (2) и постоянства скорости центра масс шара.

 

 

ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ПРИ НАЛОЖЕНИИ СВЯЗИ

(комментарий и добавление к соответствующему параграфу учебника)

1. Рассматривается случай общего положения, когда все собственные частоты различны и все . В этом случае все рассуждения соответствую учебнику, и результат следующий: .

2. Если , то уравнение малых колебаний для нормальной координаты с номером остается неизменным. Следовательно, не изменяется нормальная форма колебаний и собственная частота .

3. Допустим, что система имеет кратные собственные частоты, например, которым соответствует собственное линейное подпространство размерности . Уравнение линейной связи в нормальных координатах имеет вид

Введем в пространстве новый ортогональный базис, положив координату и обозначив ортогональные ей координаты через . Уравнение линейной связи в новых переменных примет вид

Отсюда согласно п. 2 следует, что нормальным координатам будут соответствовать одинаковые собственные частоты кратности , а изменение нормальных форм и собственных частот для оставшихся координат происходит согласно п. 1.

 

ЗАДАЧА КЕПЛЕРА - НЬЮТОНА В ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЛОНЕ.

ПЕРТУРБАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ.

В качестве примера использования канонических переменных действие – угол и метода усреднения рассмотрим задачу Кеплера – Ньютона о движении материальной точки в центральном поле притяжения по закону Всемирного тяготения при наличии консервативных и неконсервативных возмущений. Рассмотрим частный случай, когда возмущающие силы находятся в плоскости, в которой происходит невозмущенное движение. В невозмущенной задаче сохраняется вектор момента количества движения, а движение происходит по эллипсу, расположенному в ортогональной плоскости . В полярной системе координат кинетическая энергия, обобщенные импульсы и функция Гамильтона записываются в виде

 

Полный интеграл уравнения Гамильтона – Якоби

согласно методу разделения движений найдем в виде

Знак плюс или минус перед интегралом выбирается в зависимости от того положителен или отрицателен импульс . Выясним смысл постоянных величин и в выражении полного интеграла. Постоянная соответствует циклической переменной и равна значению циклического интеграла , т. е. является модулем момента количества движения точки относительно притягивающего центра направленного по неподвижной оси . Постоянная связана со значением интеграла полной механической энергии при движении точки по кеплеровской эллиптической орбите. Найдем величину момента количества движения при движении точки по круговой орбите с данным значением полной энергии. В этом случае справедливы соотношения

Отсюда следует, что величина , т. е. равна модулю момента количества движения точки с заданной энергией при движении по круговой орбите.

Примем в качестве производящей функции канонического преобразования функции . Заметим, что в новых канонических переменных невозмущенный гамильтониан равен . Это означает, что канонические переменные являются переменными действие, а сопряженные им угловые переменные определяются по формулам

(1)

Полученные канонические переменные называются переменными Делоне, а канонические уравнения движения в новых переменных имеют вид

(2)

Из которых следует, что все канонические переменные, кроме «быстрой» переменной , являются постоянными.

Выясним механический смысл угловых переменных. Первое равенство в (1) представим в форме

С помощью подстановки после интегрирования получим уравнение Кеплера . Здесь как было обозначено ранее - большая полуось и эксцентриситет орбиты, - средняя и эксцентрическая аномалии соответственно.

Переменная , определенная в (1), постоянна согласно каноническим уравнениям. Далее найдем

Отсюда следует, что угловая переменная определяет полярный угол перигея эллиптической орбиты, а угол - истинная аномалия, связанная с эксцентрической аномалией соотношением . Заметим, что согласно полученным формулам, радиус является функцией переменных .

Рассмотрим два вида возмущений, одно из которых порождается дополнительным членом в выражении гамильтониана , а второе задается неконсервативной силой , определяющей диссипацию энергии. Здесь малый параметр в том смысле, что соответствующие возмущающие силы малы по сравнению с основной силой гравитационного взаимодействия точки с притягивающим центром. Функция называется пертурбационной. Канонические уравнения возмущенного движения в переменных Делоне имеют вид

(3)

Обобщенные силы в уравнениях (3) определяются из выражения элементарной работы

Уравнения (3) получены из вариационного принципа Гамильтона – Остроградского в форме Пуанкаре при наличии неконсервативных сил

Роль канонических переменных в данном случае играют переменные Делоне. Система уравнений (3) имеет стандартный вид для применения метода усреднения, поскольку она состоит из одного уравнения для быстрой переменной и трех уравнений для медленных переменных . Понятие медленной переменной означает, что скорость ее изменения пропорциональна величине малого параметра, т.е. мала по сравнению со скоростью изменения быстрой переменной, имеющей порядок единицы. Скорость изменения быстрой переменной претерпевает малые возмущения. Метод усреднения в данном случае означает замену правых частей уравнений (3) их средними значениями, имея в виду разложения периодических функций, стоящих в правых частях, в ряд Фурье по быстрой переменной . Таким образом, функции, стоящие в правых частях уравнений (3) следует заменить их средними значениями

Определение средних значений в некоторых случаях удобно производить с использованием истинной аномалии , так как от нее зависят подынтегральные функции. Согласно ранее приведенным формулам найдем

 

ЭВОЛЮЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТЫ

Рассмотрим два вида возмущений, одно из которых порождается дополнительным членом в выражении гамильтониана , а второе определяется диссипативной силой . Здесь и малые величины в том смысле, что соответствующие возмущающие силы малы по сравнению с основной силой гравитационного взаимодействия точки с притягивающим центром. Заметим, что возмущающие силы являются центральными силами, что влечет сохранения момента количества движения и сохраняет движение плоским. Подобного рода возмущения возникают при рассмотрении вязкоупругих свойств шарообразной деформируемой планеты, заменяющей материальную точку. Канонические уравнения возмущенного движения в переменных Делоне имеют вид

(1)

Обобщенные силы в уравнениях (1) определяются из выражения элементарной работы

Система уравнений (1) имеет стандартный вид для применения метода усреднения, поскольку она состоит из одного уравнения для быстрой переменной и двух уравнений для медленных переменных . Переменная в рассматриваемом случае остается постоянной при наличии возмущений. Понятие медленной переменной означает, что скорость ее изменения пропорциональна величине малого параметра, т.е. мала по сравнению со скоростью изменения быстрой переменной, имеющей порядок единицы. Скорость изменения быстрой переменной претерпевает малые возмущения. Усредним правые части уравнений (1) по быстрой переменной и получим эволюционные уравнения для медленных переменных и , сохранив для усредненных значений переменных исходные обозначения. Имеем

Согласно определению среднего значения получим следующее выражение

Учитывая равенства

найдем

Уравнение, описывающее эволюцию переменной , представляется в виде

Отсюда следует, что каноническая переменная убывает и стремится к стационарному значению , а эксцентриситет орбиты стремится к нулю. В результате эволюции эллиптическая орбита стремится к круговой орбите.

Каноническая переменная , определяющая полярный угол перигея орбиты, изменяется согласно усредненному уравнению системы (1)

Поскольку функция является периодической нечетной функцией относительно переменной , то ее среднее значение по этой переменной равно нулю. Далее получим

Операции интегрирования при вычислении среднего значения и дифференцирования по параметру можно выполнять в любой последовательности, что и было использовано в предыдущем соотношении. Воспользуемся равенством

при вычислении интеграла и получим

Усредненное уравнение для переменной представляется в форме

Перигей орбиты медленно вращается против часовой стрелки, что означает прецессию невозмущенной орбиты в процессе ее эволюции. Отметим, что за это явление отвечает консервативное возмущение исходного гамильтониана, а изменение эксцентриситета орбиты вызывается воздействием диссипативных сил.