Относительные равновесия гибкой нити привязанной к спутнику на круговой орбите

Рассмотрим вращающуюся систему координат . Ее угловая скорость постоянна и направлена по оси . В точке помещена материальная точка, порождающая гравитационное поле с гравитационной постоянной , а на оси на расстоянии находится массивный спутник, к которому привязана однородная гибкая нерастяжимая нить длины . Угловая скорость вращения системы координат соответствует угловой скорости вращения спутника по круговой орбите и равна . Предполагается, что движение нити не возмущает движения спутника. Требуется найти положения равновесия нити относительно вращающейся системы координат и исследовать их устойчивость.

Представим радиус вектор точки нити

(22)

где – орты соответствующих осей. Заметим, что ось ортогональна плоскости орбиты, а ось параллельна касательной к орбите движения спутника. Поскольку система координат не инерциальная, то уравнения движения нити с учетом центробежных и кориолисовых сил инерции представляются в виде

(23)

Последние два условия в (22) являются кинематическими граничными условиями – условие закрепления нити на спутнике и динамическим граничным условием – равенство нулю натяжения нити на ее свободном конце. Здесь – натяжение и линейная плотность нити соответственно. Поля центробежных и гравитационных сил, действующие на точки гибкой нити, потенциальны, и их потенциал равен

(24)

Допустим, что справедлива оценка . Тогда отношение – малый параметр. Разложим потенциальную энергию (24) по малому параметру с точностью до членов второго порядка малости включительно. Имеем

(25)

Отбрасывая постоянную величину, получим функционал потенциальной энергии в виде

(26)

Первая и вторая вариации функционала (26) равны

 

(27)

 

На относительных положениях равновесия нити первая вариация обращается в нуль. Учитывая равенства (22), представим первую вариацию в виде

 

(28)

Последние два уравнения (28) имеют вид

 

(29)

Если , то , и нить находится на оси , т.е. расположена на прямой касательной к орбите. Точнее она располагается на самой орбите, имея множество точек перигиба.

Из выражения первой вариации в (27) следует, что поле сил, действующих на точки нити, имеет компоненты . Отсюда следует, что нить в положении равновесия должна располагаться либо в плоскости , либо на оси . Можно показать, что в точной постановке равновесие нити на оси не возможно. Если , то , и, поскольку условия равновесия представляюся в виде

 

(30)

 

Из уравнений (30) получим

Поскольку , то и значения углов в положении равновесия равны

(31)

где – борелевское множество, полученное путем разбиения интервала на конечное или счетное число интервалов и дальнейшего отбрасывания любой их совокупности. Среди этих положений равновесия существуют две конфигурации нити, вытянутой вдоль оси в положительном и отрицательном направлениях, при которых натяжение нити положительно на всей ее длине. Этим конфигурациям соответствуют значения угла и угла .

Исследуем устойчивость найденных конфигураций. Прежде всего, заметим, что рассматриваемая механическая система имеет первый интеграл – интеграл Якоби или обобщенный интеграл энергии. Умножим уравнение движения (23) на и проинтегрируем полученное равенство по от нуля до . Заметим, что

так как . В результате получим

(32)

Устойчивость исследуемых положений равновесия будет иметь место, если потенциал имеет изолированный минимум в окрестности положений равновесия. Функционал

в этом случае является функционалом Ляпунова, и согласно теореме Ляпунова положения равновесия устойчивы. Покажем, что потенциал имеет изолированный минимум на рассматриваемых положениях равновесия. Для этого достаточно показать, что вторая вариация потенциала гравитационных и центробежных сил в (27) положительна. Имеем

(33)

Далее найдем

В результате вторая вариация потенциальной энергии примет вид

(33)

Следовательно, по теореме Ляпунова положения равновесия устойчивы.