Составное (сложное) движение точки

 

 

Составное движение точки - это такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или нескольких движениях.

Рассмотрим тело А (рис. 28), которое свободно движется по отношению к неподвижной системе координат О₁ x ₁ y ₁ z ₁. Пусть точка М совершает движение по поверхности этого тела. Через произвольную точку О движущегося тела проведем неизменно связанные с этим телом оси x, y, z. Систему осей О xyz называют подвижной системой отсчета.

Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называют абсолютным движением точки.

Абсолютное движение точки характеризуется изменением радиуса-вектора по модулю и направлению.

Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением точки и обозначают и .

 

Рис. 28

 

Движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным движением точки. Относительное движение характеризуется изменением только радиуса-вектора при неизменных радиусах-векторах и . В этом случае координаты х, у, z точки М в подвижной системе отсчета будут изменяться.

Скорость и ускорение точки в относительном движении называют относительной скоростью и относительным ускорением и обозначают и .

Движение подвижной системы отсчета О xyz и неизменно связанного с ней тела А по отношению к неподвижной системе отсчета О₁ x ₁ y ₁ z ₁ является для точки М переносным движением. Переносное движение точки М характеризуется изменением радиусов-векторов и по модулю и направлению при неизменном только по модулю радиусе-векторе .

Скорость и ускорение той точки тела А, с которой в данный момент совпадает точка М, называют переносной скоростью и переносным ускорением точки М и обозначают и .

Желая изучить относительное движение точки, следует мысленно остановить переносное движение. Если необходимо изучить переносное движение точки, то надо мысленно остановить относительное движение и рассмотреть далее движение точки по формулам кинематики точки в абсолютном движении.

Если точка М участвует в составном движении, то имеют место следующие теоремы:

абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей точки, т. е.

 

= + ;

 

абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова (поворотного) ускорений этой точки, т. е.

 

= + + ,

или

= + + + + .

 

Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость точки, т. е.

 

= 2 × ( ´ ).

 

Следовательно, модуль этого ускорения

 

= 2 × w_пер × V_отн × sin a,

 

где a - угол между векторами и .

Чтобы найти направление кориолисова ускорения точки М, достаточно в точке М построить векторы и и восстановить из этой точки перпендикуляр к плоскости, в которой лежат эти векторы и . Вектор направлен по этому перпендикуляру так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца этого вектора, видел поворот вектора на угол a против хода часовой стрелки до совмещения его с вектором (рис. 29).

 

 

Рис. 29

Направление вектора можно определить и другим способом (правило Н. Е. Жуковского).

Проведем через точку М плоскость П, перпендикулярную к вектору и спроецируем относительную скорость на эту плоскость. Если полученную проекцию повернем в плоскости П на 90° вокруг точки М в направлении переносного вращения, то получим направление вектора .

 

 

Задача К3

 

 

Прямоугольная пластина (рис. К3.0–К3.4) или круглая пластина радиуса R = 60 см (рис. К3.5–К3.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j = f₁ (t), заданному в табл. К3. Положительное направление отсчета угла j показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. К3.0, К3.1, К3.2, К3.5, К3.6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. К3.3, К3.4, К3.7, К3.8, К3.9 ось вращения О₁О лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой ВD (рис. К3.0–К3.4) или по окружности радиуса R (рис. К3.5–К3.9) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость s = AM = f ₂ (t) (s выражено в сантиметрах, t – в секундах), задан в табл. К3 отдельно для рис. К3.0–К3.4 и для рис. К3.5–К3.9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится по другую сторону от точки А).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁ = 1 с.

Указания. Задача К3 – на сложное движение точки. Для ее решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t₁ = 1 с, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).

В случаях, относящихся к рис. К3.5–К3.9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t₁ = 1 с и угол между радиусами СМ и СA в этот момент.

 

Таблица К3

 

Номер условия	Для всех рисунков j = f 1(t)	Для рис. К3.0-К3.4	Для рис. К3.5-К3.9
b, см	s = AM = f 2 (t)	l	s = = f 2(t)
	4×(t^2 - t)		50×(3×t - t^2) - 64	R	p×R×(4t^2 - 2t^3)/3
	3t^2 - 8t		40×(3×t^2 - t^4) - 32	4R/3	p×R×(2t^2 - t^3)/2
	6t^3 - 12t^2		80×(t^2 - t) + 40	R	p×R×(2t^2 - 1)/3
	t^2 - 2t^3		60×(t^4 - 3t^2) + 56	R	p×R×(3t - t^2)/6
	10t^2 - 5t^3		80×(2t^2 - t^3) - 48	R	p×R×(t^3 - 2t)/3
	2×(t^2 - t)		60×(t^3 - 2t^2)	R	p×R×(t^3 - 2t)/6
	5t - 4t^2		40×(t^2 - 3t) + 32	3R/4	p×R×(t^3 - 2t^2)/2
	15t - 3t^3		60×(t - t^3) + 24	R	p×R×(t - 5t^2)/6
	2t^3 - 11t		50×(t^3 - t) - 30	R	p×R×(3t^2 - t)/3
	6t^2 - 3t^3		40×(t - 2t^3) - 40	4R/3	p×R×(t - 2t^2)/2

 

 

 

 

Рис. К3.0 Рис. К3.1 Рис. К3.2

 

 

Рис. К3.3 Рис. К3.4 Рис. К3.5

 

Рис. К3.6 Рис. К3.7

 

 

Рис. К3.8 Рис. К3.9

 

Рассмотрим два примера решения этой задачи.

Пример К3а. Пластина OEAB₁D (OE = OD, рис. К3а) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону j = f ₁(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3а дуговой стрелкой). По дуге окружности радиуса R движется точка В по закону s = = f ₂(t) (положительное направление отсчета s – от A к B).

Дано: R = 0,5 м, j = t² - 0,5t³, s = p×R×cos(pt/3) (j - в радианах, s - в метрах, t - в секундах). Определить: и в момент времени t₁ = 2 с.

Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

= + ,

 

= + + , (58)

где, в свою очередь,

 

= + , = + .

 

 

Рис. К3а

 

Определим все входящие в равенства (58) величины.

1. Относительное движение. Это движение происходит по закону

 

s = = p×R× cos(pt/3). (59)

 

Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t₁. Полагая в уравнении (59) t₁ = 2 с, получаем

 

s = p×R× cos(2p/3) = - 0,5pR.

 

Тогда

 

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t₁ = 2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К3а в этом положении (точка В₁).

Теперь находим числовые значения , , :

 

,

 

,

где r_отн – радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента t₁ = 2 с, учитывая, что R = 0,5 м, получаем

 

м/с,

 

м/с², м/с². (60)

 

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону; вектор направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. К3а.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону j = t² – 0,5×t³. Найдем сначала угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения:

 

= 2×t – 1,5×t², = 2 – 3×t;

 

и при t₁ = 2 с

w = – 2 c^–1, e = – 4 с^–2. (61)

 

Знаки указывают, что в момент t₁ = 2 с направления w и e противоположны направлению положительного отсчета угла j; отметим это на рис. К3а.

Для определения и находим сначала расстояние h ₁ = OB₁точки B₁ от оси вращения О. Из рисунка видно, что h₁ = 2R× = 1,41 м. Тогда в момент времени t₁ = 2 с, учитывая равенства (61), получим

 

V_пер = |w|×h₁ = 2,82 м/с,

 

= |e|×h₁ = 5,64 м/с², = w²×h₁ = 5,64 м/с². (62)

 

Изображаем на рис. К3а векторы и с учетом направлений w и e и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Модуль кориолисова ускорения определяем по формуле а _кор = 2× |V_отн| × |w| × sin a, где a – угол между вектором и осью вращения (вектором ). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор . Численно в момент времени t₁ = 2 с, так как в этот момент |V_отн| = 1,42 м/с и |w| = 2 с^-1, получим

 

а _кор = 5,68 м/с². (63)

Направление найдем по правилу Н. Е. Жуковского: так как вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90° в направлении w, т. е. по ходу часовой стрелки. Изображаем на рис. К3а. (Иначе направление можно найти, учтя, что = 2×( ´ ).

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (58) векторов найдены и для определения V_абс и а _абс остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

4. Определение V_абс. Проведем координатные оси В₁ху(см. рис. К3 а) и спроектируем почленно обе части равенства = + на эти оси. Получим для момента времени t ₁ = 2 с:

 

V_{абс х} = V_{отн х} + V_{пер х} = 0 - |V_пер| × сos 45° = - 1,99 м/с,

 

V_{абс у} = V_{отн у} + V_{пер у} = |V_отн| + |V_пер| × сos 45° = 3,41 м/с.

 

После этого находим

м/с.

 

Учитывая, что в данном случае угол между и равен 45°, значение V_абс можно еще определить по формуле

 

м/с.

 

5. Определение а _абс. По теореме о сложении ускорений

 

= + + + + . (64)

 

Для определения спроецируем обе части равенства (64) напроведенные оси В₁ху. Получим:

 

а _{абс х} = + а _кор + × cos 45° - | |× cos 45°,

 

а _{абс y} = × cos 45° + | |× cos 45° - | |.

 

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t₁ = 2 с, найдем, что в этот момент

 

а _{абс х} = 9,74 м/с²; а _{абс y} = 7,15 м/с².

 

Тогда

 

м/с².

 

Ответ: V_абс = 3,95 м/с, а _абс = 12,08 м/с².

Пример К3б. Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z по закону j = f ₁(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка Впо закону s = АВ = f ₂(t); положительное направление отсчета s – от А к D.

Дано: j = 0,1× t³–2,2× t, s = АВ = 2 + 15× t – 3×t²; (j – в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить: V_абс и а _абс в момент времени t₁ = 2 с.

Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:

= + , = + + , (65)

 

где, в свою очередь, = + .

Определим все входящие в равенство (65) величины.

1. Относительное движение - это движение прямолинейное и происходит по закону

s = AB = 2 + 15t - 3t², (66)

Поэтому

 

В момент времени t₁ = 2 с имеем

 

s₁ = AB₁ = 20 cм, V_отн = 3 см/с, а _отн = - 6 см/с². (67)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. К3б.

 

 

Рис. К3б

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону j = 0,1×t³ - 2,2t.

Найдем угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения: w = = 0,3t² - 2,2; e = = 0,6t и при t₁ = 2 с,

 

w = - 1 c^-1, e = 1,2 c^-2. (68)

 

Знаки указывают, что в момент t₁ = 2 с направление e совпадает с направлением положительного отсчета угла j, а направление w ему противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние h₁ точки В₁ от оси вращения z: h₁ = AB₁× sin 30° = 10 см. Тогда в момент t₁ = 2 с, учитывая равенства (68), получаем:

V_пер = |w|×h₁ = 10 cм/с,

 

= |e|×h₁ = 12 см/с², = w²×h₁ = 10 см/с². (69)

 

Изобразим на рис. К3б векторы и (с учетом знаков w и e)и ; направлены векторы и перпендикулярно плоскости ADE, а вектор – по линии В₁С к оси вращения.

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 30°, то численно в момент времени t₁ = 2с

а _кор = 2×|V_отн| × |w| × sin 30° = 3 см/с². (70)

 

Направление найдем по правилу Н. Е. Жуковского. Для этого вектор спроецируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору ) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону w, т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор (см. рис. К3б).

4. Определение V_абс. Так как = + , а векторы и взаимно перпендикулярны, то ; в момент времени t₁ = 2 с V_абс = 10,44 см/с.

5. Определение а _абс. По теореме о сложении ускорений

 

= + + + . (71)

 

Для определения а _абс проведем координатные оси В₁хуz₁ и вычислим проекции на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на оси х ₁, а векторы и расположены в плоскости В ₁ хуz ₁, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проецируя обе части равенства (71) на оси В₁хуz₁ и учтя одновременно равенства (67), (69), (70), получаем для момента времени t₁ = 2 с:

 

а _{абс х} = | | – а _кор = 9 см/с²,

 

 

а _{абс у} = + | а _отн|×sin 30 ° = 13 см/с²,

 

 

а _{абс z} = | а _отн|×cos 30 ° = 5,20 см/с².

 

Отсюда находим значение а _абс:

 

см/с².

 

 

Ответ: V_абс = 10,44 см/с, а _абс = 16,64 см/с².

 

Вопросы для самоконтроля

 

 

1. Что понимается под составным (сложным) движением точки?

2. Что называется абсолютным, переносным и относительным движением точки?

3. Сформулируйте, что такое переносная скорость и переносное ускорение точки.

4. В чем заключается теорема об абсолютной скорости точки, совершающей составное движение.

5. Сформулируйте теорему об ускорениях точки в составном движении.

6. Как определить модуль и направление кориолисова ускорения точки?

7. В каких случаях ускорение Кориолиса равно нулю?