Прямая и плоск. Т. пересеч. прямой и плоск. Угол м-у прямой и плоск. Услов. паралл-ти и перп-ти прямой и плоск.

Коорд. т. пересеч. прямой L и плоск. α должны одноврем. удовл. ур-ям:

Подставляя их в ур-е плоск, получ. знач. парам. t

Подставляя найд. t в парам. ур-я прямой, получ. корд. т. пересеч. прямой и плоск.

- угол м-у прямой и плоск, , ||L

– угол м-у прямой и плоск.

L α ó || ó

L||α ó ó * =0 ó Al+Bm+Cn=0

 

Эллипс

Эллипсом назыв. геом. место точек M(x;y), для кот. сумма расстояний до 2-х зад. т. F1(c;0),F2(-с;0), назыв. фокусами эллипса, постоянна и равна 2а.

По опр-ю | |+| |=2a,

| |=2c, a>c

Восп-ся форм-ми расст. м-у 2-мя т:

| |= = ; | |= =

r1+r2=2a

:возводим в квадрат и группируем

т.к a>c,

x²/a² + y²/b² =1 - канонич. ур-е эллипса

Эл-ты эллипса:

О – центр эллипса, ABCD – вершины эллипса

F1(c;0), F2(-с;0) - фокусы эллипса

2с - фокусное расстояние, кот. вычисл. по ф-ле с=

AC=2a, BD=2b - большая и малая полуоси эллипса

Ɛ=с/a (Ɛ <1) - эксцентриситет эллипса, Ɛ = .

Эксцентриситет опр-ся отношением осей эллипса и характериз.т его форму.

Прямые, парал. малой оси и отстоящие от нее на расстояние a/Ɛ, назыв. директрисами эллипса. Ур-е директрисы:

X=±a/ Ɛ; a/ Ɛ >a т.е Ɛ <1

Фокальный параметр P= - это половина хорды, провед. ч-з фокус, параллельно малой оси.

Окружность предст. собой геом. место точек, равноудал. от т. О, назыв. центром окружн-ти, a=b=п

– ур-е окружн. с центром (x0,y0) и радиусом r. – канонич. ур-е окружн.

Гипербола

Гиперболой назыв. геом. место точек M(x;y), для кот. абсол. величина разности расстояний до 2-х зад. т. F1(c;0),F2(-с;0), назыв. фокусами гиперболы, постоянна и равна 2а (a<c)

По опр-ю | |=2a, | |=2c

Найдем:| |= = , |= =

|r1-r2|=2a; r1-r2=±2a

*(-1)

, т.к. по услов. C>a

X²/a² - y²/b² =1 - канонич. ур-е гиперболы

Эл-ты гиперболы:

О – центр гиперболы, A,B – вершины гиперболы

F1(c;0),F2(-с;0) – фокусы гиперболы

2с - фокусное расстояние, кот. вычисл. по ф-ле

AB=2a – действит.. ось гиперболы.

СD=2b – мнимая ось гиперболы

Ɛ=с/a - эксцентриситет гиперболы,

Ɛ =

Эксцентритет опр-ся отношением осей гиперболы и характеризует ее форму: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоуг-к гиперболы.

Ур-я директрис имеют вид: х=±a/Ɛ; т.к Ɛ >1 то a/Ɛ <a

Асимптоты гиперболы – это прямые, к кот. ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении на бесконечность

k=±tgα=±b/a

y=kx=± *x – ур-я асимптоты

Фокальный параметр P=

 

Парабола

Параболой назыв. геом. место точек M(x;y), равноудаленных от зад. т. F(;0) и от данной прямой, назыв. директрисой параболы

Канонич. ур-е параболы м.б. получ. из опр-я:

F(;0), , M(x,y), FM=MK,

=

Эл-ты параболы:

О- вершина параболы

ОХ – ось параболы

F(;0) – фокус параболы

х= - –директриса параболы

p – фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящ. ч-з фокус перпенд. оси ОХ)

 

 

Поверхн. 2-го пор. Поверхн. вращ-я. Циллиндрич. поверхн. Конич. поверхн. 2-го пор.

Поверхн. 2-го пор. — геом-е место точек, декартовы прямоуг. коорд. кот. удовл. ур-ю вида

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0 (1), в кот. по крайней мере один из коэф-ов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от 0.

Ф-ла (1) сост. из квадратичн. формы, линейн. формы и своб. члена.

Th. Ур-е (1) предст. собой геом-ки либо эллипсоид, либо параболоид, либо гиперболу, либо конус, либо цилиндр и ничего больше, если не счит. вырожденных случаев.

() – квадратичная форма n-го пор.

Пусть F(X,Y)=0 – нек. кривая плоск. Z=0. Будем вращ. эту кривую вокруг оси OX. В результ. получ. поверхн. вращ-я.

Пусть т. М1(Х,У,0) – произв. т. на кривой и при вращении она опишет окружн. радиуса R=|Y|.

Пусть т. М(х,у,z) – т. окружн (поверх-ти вращ-я).

При этом x=X, R=|Y|= , у=

Подставл. в ур-е F(X,Y)=0 найд. знач. X, Y, получ. ур-е поверх. вращ-я F( )=0

Замечание:

Если кривую вращ. вокруг оси ОУ, то, чтобы получ. ур-е поверхн. вращ-я, след. в ур-ии кривой F(X,Y)=0 оставить без измен. переем. Y, а перем. Х замен. на

F()=0

Если ур-е f(x;y)=0 (в плоск. z=0) зад. нек. кривую, то это же ур-е в простр. явл. цилиндрич. поверхн-ю.

x²/a² + y²/b² =1 – эллиптич. цилиндр

x²/a² - y²/b² =1 – гиперболич. цилиндр

y²=2px – параболич. цилиндр

Если вращать прямую вокруг оси OZ получ. конич. поверхн.

z=±k*

z²=k²(x²+y²)

z²= - коническая поверхность

Обобщая, получ. z²= – эллиптич. коническая поверхн.

 

 

Эллипсоид

Будем вращать эллипс x²/a² + y²/b² =1 вокруг OУ.

Согл. ф-ле (F(± ;y)=0) получим след. ур-е поверхн.

– эллипсоид вращ-я, a,b –полуоси эллипсоида вращения.

Обобщая, получ. - ур-е эллипсоида, где все полуоси a,b,c-разные.

При a=b=c=R получ. ур-е сферы x²+y²+z²=R²

Если рассек. эллипсоид плоскостями, перпенд. осям коорд, то все ее сечения будут эллипсами