Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие вектора и лин. Опер. Над вект-ми. Св-ва опер. Слож. Вект-ов и умнож. Вект-а на число (с док-вом)Стр 1 из 4Следующая ⇒
Понятие вектора и лин. опер. над вект-ми. Св-ва опер. слож. вект-ов и умнож. вект-а на число (с док-вом) Величины, для опр-я кот. дост-но знать одно число, назыв. скаляром. Геом. вектором назыв. направл. отрезок (характ-ся длиной (модулем) и направл-ем). Своб. векторы счит. равным и, если модули равны и направл. одинак. Вектора не явл. своб., если сущ. т. приложения вектора или линия действия вектора (связанные и скользящие.) Длиной вектора назыв. расстояние от нач. к концу вектора. Нулевым вектором назыв. вектор, у кот. начало и конец совпад. Векторы назыв. коллинеарными, если лежат на одной прямой, либо на парал. прямых. Нулевой вектор коллинеарен люб. вектору. 3 вектора назыв. компланарными, если они лежат в одной плоск., либо в парал. плоск-ях. Если тройка векторов содерж. нулевой вектор или пару коллинеарн. векторов, то эти векторы комплан. Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинак. длину и направл-е. Линейные операции 1. Суммой векторов и назыв. вектор + = , идущ. из нач. вектора в конец вектора , при услов., что нач. приложено к концу (правило треуг.) Св-ва: 1. + = 2. ( + )+ = +( + 3. (Ǝ )(ᵾ )( + ) 4. Правило парал-ма: Если и прилож. к общ. началу, то сумма этих векторов предст. собой диагональ парал-ма, идущ. из их общ. начала. Вычитание 1 сп. - = +(- ) 2 сп. - = , 3. Произведение на действ. число kϵR есть вектор k* = коллин. к вектору , | |=|k* |=|k|*| | и направление сонаправлен. с , если k>0; противоп. направлен. с , если k<0 Св-ва: 1. k*( + )= + , kϵR 2. *(λ+β)= *λ + *β, λ,β ϵR 3. λ*(β* )=(λ*β) 4. 1* =
1. Д-ва: 1. , , + = + = = , = ABCD – парал-м, ( || и | |=| |) => + = = = 2. , , + = + = , = 3. Д-во вытек. из опр-й суммы векторов и нулевого вектора. 4. Дост-но опр. как вектор, коллин. вектору , имеющий одинак. с ним длину и противоп. направл. Очевидно, что по правилу треуг. их сумма дает . 3. Д-ва: 1. ----- 2. ----- 3. ----- 4.-----
+ док-ва и графики на обратн. сторону Линейн. зависимость векторов (опред-е, св-ва с док-вом) Линейной комбинацией векторов ϵV назыв. вектор вида = λ1* +λ2* +..+λn* , где λ1,λ2,..,λn ϵ R Векторы в. п. V назыв. ЛЗ если найд. такие скаляры λ1,λ2,..,λn, из кот. хотя бы 1 отлично от нуля, что линейн. комбинация векторов равна λ1* +λ2* +..+λn* =
Векторы в. п. V назыв. ЛНЗ если линейн. комбинация этих векторов равна только при услов. что λ1=λ2=…=λn=0 Св-ва: 1. Если сист. векторов содерж. , то она ЛЗ. 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) ЛЗ, то и все n векторов ЛЗ. 3. ----- 4. ----- 5. ----- 6. ----- 7. ----- Д-ва: 1. ----- 2. ----- 3. ----- 4. ----- 5. ----- 6. ----- 7. -----
3. Th о коллинеарн. векторах. Th о компланарн. веторах Th1. Система двух не нулевых векторов и ЛЗ т.т.т.к. векторы коллинеарны. Д-во: 1. Необход. , - ЛЗ => (Ǝ β≠0)(λ + = ) => ≠0, ≠0 β =-λ => =- * =λ* => || 2. Дост-ть. ----- Th2. Система 3-х векторов ЛЗ тттк вектора компланарны. Th3. Система 4-х векторов всегда ЛЗ. 4. Th о разлож. вектора по некомпланарн. векторам. Коорд. вектора. Ортонормир. базис. Базисом в пр-ве назыв. 3 некомпл. вектора, взятых в опред. порядке. Базисом на плоск. назыв. 2 неколлин. вектора на этой плоск., взятых в опред. порядке. Базисом на прямой назыв. люб. ненулев. вектор этой прямой. Th. Кажд. вектор м. б. разложен по базису в пр-ве и это разложение единств. Пусть , некомпланарные = λ - геометрич. пред. собой простр. диагоналей параллепипеда построен. на векторах , =(λ,β,γ)-координаты в базисе Системой коорд. в пр-ве назыв. совокупность базиса , и нек. т. О назыв. началом корд. Вектор , идущ. из нач. корд. в т. М назыв. радиус-вектором т. М. Координатами т. М (α,β,γ) назыв. корд. вектора (α,β,γ) Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу.
Скалярн. произв-е векторов. Применение скалярн. произв-я Углом м-у векторами и , назыв. наименьш. угол, на кот. надо повернуть вектор до совмещ. с вектором Скалярн. произв-ем двух векторов назыв. число, равное произв-ю длин этих векторов на cos угла м-у ними/ Замечание: Если 1 из векторов нулевой, Св-ва (, )=(, ) (λ , )=( λ )=λ(, ) 3 *()=( * )+( * ) 4. если то ()>0 и ()=0 если Приложение скалярного произведения 1. ()= =| |*cos()=| *cos0= => = = =>| = 2. 3. связь с проекциями =| * cos(, )= =| |* cos(, )= 4. Необх. и дост. услов. перп-сти двух ненулев. векторов явл. рав-во 0 их скалярн. произв-я
(()=90) ó * =0
6. Векторное произв-е (опр-е, вычисл-е, св-ва) Упорядоч. тройка некомпл. векторов , привед. к одному началу, назыв. правой, если из конца вектора кратчайш. поворот 1-го вектора ко 2-ому вектору виден совершаемым против часовой стрелки, в противн. случ. назыв. левой. Сист. корд. назыв. правой, если её базисные векторы образ. правую тройку. При переест. местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется. Если тройка , – правая, то – левая При круговой переест. векторов ориентация тройки не меняется. Векторн. произв-ем вектора на назыв. вектор = если вып. услов. 1. | |=| |= *sin(, ) 2. Тройка векторов , явл. правой 3. Вектор ортогонален к кажд. из векторов , Замечание: | |=| |=S парал-ма, постр. на векторах и Св-ва: 1. [ ]=-[ ] 2. [λ ]=λ[ ] 3. = + 4. = Th 1. Необх. и дост. услов. коллин-ти двух векторов явл. рав-во их вект. произв-я, ó = Д-во: ----- Th 2. Если 2 вектора (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2) зад. своими корд., то их вект. произв-е имеет вид | |=| |= Д-во: - правая + Следствие: Если 2 вектора (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2) коллинеарн., то их корд. пропорцион. 7. Смешанное произв-е (опр-е, вычисл-е, св-ва) Если вектор умнож. векторно на а результ. скалярно умнож. на , то получ. число назыв. смеш. произв-ем векторов , . Тh. Смеш. произв-е некомпл. векторов , по абсол. величине равно объёму парал-пипеда, постр. на этих векторах, привед. к одному началу. Д-во: , , если – прав. , если - лев. Следствие 1: [ ]* =[ ]* = * , аоск. тройки векторов , , , имеют одинак. ориентацию (циклич. перестан. знака не меняет). Не циклич. перестан. в смеш. произв. привод. Следствие 2 (критерий компланарности 3-х векторов): Необх. и дост-ным услов. компланарности 3-х векторов явл. рав-во 0 их смеш. произв-я. , Th. Е сли 3 вектора (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) зад. своими коорд., то смеш. произв. = Д-во: = = Следствие: ,
Ориентация плоскости
Парал. перенос Перенесём нач. корд. из т. О в т. О’ парал. переносом осей Пусть в старой сист. корд. XOY т.М(x,y) в новой т. М(x’,y’). Сист. корд. получ. из сит. корд. XOY парал. переносом осей, при кот. нач. корд. O’(x0,y0) в XOY. Связь координат т. М(x,y) и М(x’,y’) в старой и новой системе: ó Ур-е кривых 2-го порядка, когда их центры симметрии наход-ся в т. O’(x0,y0), получ. с пом. преобраз. корд при парал. переносе осей. (x-x0)2+(y-y0)2=R2 – ур-е окружности в т. (x0,y0) радиусом R (x-x0)2/а2 (y-y0)2/b2 =1– ур-е эллипса, гиперболы с центром симметрии в т. (x0,y0) ( - ур-е асимптот) (y-y0)2=2p(x-x0) – ур-е параболы с вершиной в т. (x0,y0) (x-x0=-- – ур-е директрисы) Поворот осей координат - ф-ла выраж. старые корд. ч-з новые этой же т. при повороте осей на угол - ф-ла выраж. новые корд. ч-з старые, получ. из пред. ф-лы переменой местами старых и новых корд. и заменой на - Угол м-у двумя прямыми L1: y=k1x+b1, L2: y=k2x+b2 => Если прямые зад. общими ур-ми: L1: A1x+B1y+C1=0, L2: A2x+B2y+C2=0
Эллипс Эллипсом назыв. геом. место точек M(x;y), для кот. сумма расстояний до 2-х зад. т. F1(c;0),F2(-с;0), назыв. фокусами эллипса, постоянна и равна 2а. По опр-ю | |+| |=2a, | |=2c, a>c Восп-ся форм-ми расст. м-у 2-мя т: | |= = ; | |= = r1+r2=2a :возводим в квадрат и группируем т.к a>c, x2/a2 + y2/b2 =1 - канонич. ур-е эллипса Эл-ты эллипса: О – центр эллипса, ABCD – вершины эллипса F1(c;0), F2(-с;0) - фокусы эллипса 2с - фокусное расстояние, кот. вычисл. по ф-ле с=
AC=2a, BD=2b - большая и малая полуоси эллипса Ɛ=с/a (Ɛ <1) - эксцентриситет эллипса, Ɛ = . Эксцентриситет опр-ся отношением осей эллипса и характериз.т его форму. Прямые, парал. малой оси и отстоящие от нее на расстояние a/Ɛ, назыв. директрисами эллипса. Ур-е директрисы: X=±a/ Ɛ; a/ Ɛ >a т.е Ɛ <1 Фокальный параметр P= - это половина хорды, провед. ч-з фокус, параллельно малой оси. Окружность предст. собой геом. место точек, равноудал. от т. О, назыв. центром окружн-ти, a=b=п – ур-е окружн. с центром (x0,y0) и радиусом r. – канонич. ур-е окружн. Гипербола Гиперболой назыв. геом. место точек M(x;y), для кот. абсол. величина разности расстояний до 2-х зад. т. F1(c;0),F2(-с;0), назыв. фокусами гиперболы, постоянна и равна 2а (a<c) По опр-ю | |=2a, | |=2c Найдем:| |= = , |= = |r1-r2|=2a; r1-r2=±2a *(-1) , т.к. по услов. C>a X2/a2 - y2/b2 =1 - канонич. ур-е гиперболы Эл-ты гиперболы: О – центр гиперболы, A,B – вершины гиперболы F1(c;0),F2(-с;0) – фокусы гиперболы 2с - фокусное расстояние, кот. вычисл. по ф-ле AB=2a – действит.. ось гиперболы. СD=2b – мнимая ось гиперболы Ɛ=с/a - эксцентриситет гиперболы, Ɛ = Эксцентритет опр-ся отношением осей гиперболы и характеризует ее форму: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоуг-к гиперболы. Ур-я директрис имеют вид: х=±a/Ɛ; т.к Ɛ >1 то a/Ɛ <a Асимптоты гиперболы – это прямые, к кот. ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении на бесконечность k=±tgα=±b/a y=kx=± *x – ур-я асимптоты Фокальный параметр P=
Парабола Параболой назыв. геом. место точек M(x;y), равноудаленных от зад. т. F(;0) и от данной прямой, назыв. директрисой параболы Канонич. ур-е параболы м.б. получ. из опр-я: F(;0), , M(x,y), FM=MK, = Эл-ты параболы: О- вершина параболы ОХ – ось параболы F(;0) – фокус параболы х= - –директриса параболы p – фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящ. ч-з фокус перпенд. оси ОХ)
Эллипсоид Будем вращать эллипс x2/a2 + y2/b2 =1 вокруг OУ. Согл. ф-ле (F(± ;y)=0) получим след. ур-е поверхн. – эллипсоид вращ-я, a,b –полуоси эллипсоида вращения. Обобщая, получ. - ур-е эллипсоида, где все полуоси a,b,c-разные. При a=b=c=R получ. ур-е сферы x2+y2+z2=R2 Если рассек. эллипсоид плоскостями, перпенд. осям коорд, то все ее сечения будут эллипсами
Понятие вектора и лин. опер. над вект-ми. Св-ва опер. слож. вект-ов и умнож. вект-а на число (с док-вом)
Величины, для опр-я кот. дост-но знать одно число, назыв. скаляром. Геом. вектором назыв. направл. отрезок (характ-ся длиной (модулем) и направл-ем). Своб. векторы счит. равным и, если модули равны и направл. одинак. Вектора не явл. своб., если сущ. т. приложения вектора или линия действия вектора (связанные и скользящие.) Длиной вектора назыв. расстояние от нач. к концу вектора. Нулевым вектором назыв. вектор, у кот. начало и конец совпад. Векторы назыв. коллинеарными, если лежат на одной прямой, либо на парал. прямых. Нулевой вектор коллинеарен люб. вектору. 3 вектора назыв. компланарными, если они лежат в одной плоск., либо в парал. плоск-ях. Если тройка векторов содерж. нулевой вектор или пару коллинеарн. векторов, то эти векторы комплан. Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинак. длину и направл-е. Линейные операции 1. Суммой векторов и назыв. вектор + = , идущ. из нач. вектора в конец вектора , при услов., что нач. приложено к концу (правило треуг.) Св-ва: 1. + = 2. ( + )+ = +( + 3. (Ǝ )(ᵾ )( + ) 4. Правило парал-ма: Если и прилож. к общ. началу, то сумма этих векторов предст. собой диагональ парал-ма, идущ. из их общ. начала. Вычитание 1 сп. - = +(- ) 2 сп. - = , 3. Произведение на действ. число kϵR есть вектор k* = коллин. к вектору , | |=|k* |=|k|*| | и направление сонаправлен. с , если k>0; противоп. направлен. с , если k<0 Св-ва: 1. k*( + )= + , kϵR 2. *(λ+β)= *λ + *β, λ,β ϵR 3. λ*(β* )=(λ*β) 4. 1* =
1. Д-ва: 1. , , + = + = = , = ABCD – парал-м, ( || и | |=| |) => + = = = 2. , , + = + = , = 3. Д-во вытек. из опр-й суммы векторов и нулевого вектора.
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-16; просмотров: 173; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.109.30 (0.313 с.) |