Афинная сист. Коорд. На плоск. И в простр. Декарт. Сист. Корд. Деление отрезка в зад. Отношении

В L (мн-во всех векторов, паралл. плоск-ти) сущ. беск. мн-во базисов.

Совокупн. нек. т. О и базисн. векторов. образ. сист. корд. О , назыв. аффинной сист. корд.

Коорд-ми т. М (x,y) назыв. числа x и y, такие, что (1), х – абсцисса т. М, у – ордината т.М

При выбр. сист. корд. кажд. т. М плоск имеет корд. x,y, причем, если т. M1(x1,y1), M2(x2,y2) различны, то пары чисел (x1,y1) (x2,y2), т.е. (x1 x2 или y1 y2), и наоборот, для кажд. упорядоч. пары x,y можно указ. т., имеющ. данные корд-ты.

, , то на осях корд. Ох и Оу сущ. соотв. т. М1, М2, такие, что , (2)

Из (1) (3)

Польз. рав-вами (2), строим т. М1, М2.

Проведя ч-з эти т. прямые, парал. корд. осям, находим их т. пересеч., кот согласно ф-ле (3) будет т. М

Пусть в кач-ве базиса выбр. 3 взаимно перп. единичн. вектора

, векторы - базисные орты

Получ. сист. корд. назыв. прямоуг. декарт. сист. коорд. Коорд. люб. вектора в этом базисе назыв. декарт. коорд. вектора.

Коорд. т. М в ДСК по осям ОХ,. OY, OZ назыв. соотв. абсциссой, ординатой и аппликатой.

Декартовы прямоуг. корд-ты x,y,z вектора равны проекциям этого вектора на оси OX, OY, OZ:

,

где - углы, кот. сост. вектор с корд. осями OX, OY, OZ, при этом назыв. направл. косинусами этого вектора.

– вектор единичн. длины и данного направл. вектора

,

Для направл. косинусов справ-во соотнош-е

Т. M(x,y) делит отрезок M1M2 в отношении λ, если

– коорд. т. М

Если М – середина М1М2

Замечание:

М1М2

Ориентация плоскости

 

Угол м-у векторами на ориентир. плоск-ти

Пусть - ненулев. векторы. Отложим от произв. т. О векторы . Угол м-у лучами ОА и ОВ назыв. углом м-у векторами .

Пусть заданы в опр. порядке.

Если векторы не коллинеарны, то направл. (ориентированным) углом м-у векторами назыв. величина , если базис - правый, и , если левый.

Если векторы одинак. направл., то направл. угол м-у ними счит. равным 0, а если противоположн. направл., то

Т.о. для люб. ненулев. векторов -

Т.к. направл. угол =- , и если векторы не коллинеарны, то = - , =cos ,

Если векторы - произв., ненулев., то можно д-ть, что

= -

=cos

=

=cos

Th. Коорд-ты (а1,а2) произв. ненулев. вектора в ортонормир. правом базисе i,j вычисл. по ф-ле

Д-во:

Обе части скалярно умнож. на вектор .

, ()

 

Следствие:

Единичн. вектор в ортонормир. базисе имеет координаты .

 

 

Ф-лы преобраз. корд. на плоск. Преобраз-е прямоуг. сист. корд. Полярные корд.

Парал. перенос

Перенесём нач. корд. из т. О в т. О^’ парал. переносом осей

Пусть в старой сист. корд. XOY т.М(x,y) в новой т. М(x^’,y^’).

Сист. корд. получ. из сит. корд. XOY парал. переносом осей, при кот. нач. корд. O’(x0,y0) в XOY.

Связь координат т. М(x,y) и М(x^’,y^’) в старой и новой системе:

ó

Ур-е кривых 2-го порядка, когда их центры симметрии наход-ся в т. O’(x0,y0), получ. с пом. преобраз. корд при парал. переносе осей.

(x-x0)²+(y-y0)²=R² – ур-е окружности в т. (x0,y0) радиусом R

(x-x0)²/а² (y-y0)²/b² =1– ур-е эллипса, гиперболы с центром симметрии в т. (x0,y0) ( - ур-е асимптот)

(y-y0)²=2p(x-x0) – ур-е параболы с вершиной в т. (x0,y0)

(x-x0=-- – ур-е директрисы)

Поворот осей координат

- ф-ла выраж. старые корд. ч-з новые этой же т. при повороте осей на угол

- ф-ла выраж. новые корд. ч-з старые, получ. из пред. ф-лы переменой местами старых и новых корд. и заменой на -

Изменение нач. корд. и поворот осей

Если оси ДСК перенос-ся парл. на величины x0 по оси ОХ и y0 по оси ОУ и поворачив на , тогда этому измен-ю соотв. ф-лы преобразов. корд., выраж. старые корд. ч-з новые:

и нов. коорд. ч-з старые

Полярные координаты опр-ся на плоск.заданием полюса О и полярной оси ρ. Коорд. то. М в полярных коорд-ах зад-ся длиной = ρ и углом наклона радиус-вектора к полярной оси.

Cвязь полярных координат с декартовыми.

Совместим нач. декартов. сист. коорд. с полюсом О полярн. сист. коорд., а ось ОХ с полярн осью р. Найдем связь корд. т. М(х,у) и М(р,ф:)

(1) (2)

Если известны коорд. т. А(х1,у1), В(х2,у2), то проекции отрезка , а полярн. угол отрезка по коорд. его начала и конца нах-ся по ф-лам:

Ур-е линии в полярн. сист. коорд.

Построим линию

Если

Ур-е зад. окружность с центром в т. и радиусом

Действ-но,

Перейдем к прямоуг. декарт. сист. коорд.

– ур-е окружн. с центром в т. и радиусом

Парам-е задание линии задается в виде зависимости текущ. коорд х,у от нек. параметра t.

При измен. парам. t текущ. т. М(х,у) описыв. нек. кривую на плоск. Методом исключ. параметра ур-е линии привод. к ур-ю в декартовых коорд-ах, и наоборот.