Історичний розвиток неевклідової геометрії М.І. Лобачевського.

Джерелом геометрії Лобачевського слугувало питання аксіоми про Паралельні прямі, котра відома також як П'ятий постулат Евкліда (під цим номером у списку постулатів із «Начал» Евкліда знаходиться твердження, еквівалентне до наведеної аксіоми про паралельні прямі). Цей постулат, складніший порівняно з іншими, довгий час викликав спроби довести його на основі інших постулатів.

Ось неповний список учених, що займались доведенням V постулату до XIX ст.:

- давньогрецькі математики Птолемей (II ст.), Прокл (V ст.) (доведення Прокла базується на припущенні скінченності відстані між двума паралельними),

- Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець X ст. — початок XI ст.) (Ібн аль-Хайсам намагався довести V постулат, виходячи з припущення, що кінець рухомого перпендикуляру до прямої описує прямую лінію),

- іранський математик Омар Хайям (друга половина XI — початок XII ст.),

- азербайджанський математик Насиреддин Тусі (XIII ст.) (Хайям та Насиреддин при доведенні V постулату виходили з припущення, що дві збіжні прямі не можуть при продовженні стати розбіжними при перетині),

- німецький математик К. Клавій (1574),

- італійські математики

П. Катальді (вперше в 1603 надрукував роботу, повністю присвячену питанню паралельних прямих),

Дж. Бореллі (1658), Дж. Вітале (1680),

- англійський математик Джон Волліс (1663, опубліковано в 1693) (Уолліс грунтує доведення V постулату на припущенні, що для кожної фігури існує подібна їй, але не рівна фігура).

Доведення вказаних вчених зводились до заміни V постулату іншими припущеннями, що здавались очевиднішими.

Система аксіом площини Лобачевського.

Геометрія Лобачевського базується на абсолютній геометрії і аксіомі паралельності Лобачевського.

Абсолютна геометрія називається геометрією, яка базується на перших чотирьох групах системи аксіом Гільберта та наслідках з них.

Система аксіом Гільберта

І група: аксіоми інцидендності, належності або сполучення, які описують відношення інцидендності точок і прямої, прямої і площини, точок і площини.

ІІ група: аксіоми порядку, які описують основне відношення «лежати між», пов’язане з точками, інцидентними прямій.

ІІІ група: аксіоми конгруентності, які описують відношення конгруентності відрізка відрізку, кута куту, трикутника трикутнику.

ІV група: аксіоми неперервності, які описують властивість неперервності розташування точок на прямій.

Аксіома паралельності Лобачевського

Через точку А, яка не належить до прямої а в площині, що визначається точкою А і прямою а можна провести принаймні 2 прямі, які даної прямої а не перетинають

,

 

b, c не перетинаються з а

 

Наслідок 1. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника на площині Лобачевського менша 180 градусів(2d).

Наслідок 2. Сума внутрішніх кутів будь-якого чотирикутника на площині Лобачевського менша 360 градусів (4d).

 

Аксіома паралельності Лобачевського та наслідки з неї.

Аксіома паралельності Лобачевського

Через точку А, яка не належить до прямої а в площині, що визначається точкою А і прямою а можна провести принаймні 2 прямі, які даної прямої а не перетинають

,

 

b, c не перетинаються з а

 

Наслідок 1. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника на площині Лобачевського менша 180 градусів(2d).

Наслідок 2. Сума внутрішніх кутів будь-якого чотирикутника на площині Лобачевського менша 360 градусів (4d).

Теорема про суму внутрішніх кутів трикутника на площині Лобачевського.

Теорема про існування безлічі прямих, які проходять через задану точку, яка не належить даній прямій, і даної прямої не перетинають.

Означення паралельних прямих на площині Лобачевського.

 

Кут паралельності, стрілка кута паралельності та їх властивості.

 

Функція Лобачевського та її властивості.

Означення та ознака розбіжних прямих.

37.Теореми про властивості розбіжних прямих.

Теорема про існування та єдиність спільного перпендикуляра до двох розбіжних прямих.

Теорема про відстань між розбіжними прямими на площині Лобачевського

Теореми про властивості паралельних прямих на гіперболічній площині

Теорема про відстань між паралельними прямими на площині Лобачевського.