Отношение нерефлексивное (иррефлексивное)

- двух­местное отношение R,определенное на некотором множестве, такое, что для любого элемента х этого множества неверно, что оно находится в отношении R к самому себе (неверно, что xRx),т. е. возможен случай, что элемент множества не находится в отно­шении R к самому себе. Примерами О. н. могут быть «заботиться о», «развлекать», «нервировать» и т. п. Так, если х заботится о у,то х не обязательно заботится о самом себе (см.: Отношение рефлек­сивное).

ОТНОШЕНИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТА КЛАССУ (МНОЖЕ­СТВУ), см.: Множеств теория.

ОТНОШЕНИЕ РЕФЛЕКСИВНОЕ

- бинарное (двухместное) от­ношение R,определенное на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого х некоторого множества элемент х на­ходится в отношении R к самому себе, т. е. для любого элемента х этого множества имеет место xRx. Примерами О. р. могут быть: равенство (=), меньше или равно (≤), одновременность, сходство и др. Так, каждое событие х одновременно с самим собой, т. е. имеет место xRx.

ОТНОШЕНИЕ СИММЕТРИЧНОЕ

- бинарное (двухместное) отношение R,определенное на некотором множестве и характе­ризующееся тем, что для любых элементов х и у этого множества из того, что х находится к у в отношении R (xRy),следует, что и у находится в том же отношении к х (у Rx).Примером О. с. может быть равенство (=), отношение типа равенства,подобия, одно­временности, некоторые отношения родства и др. Так, отношение братства - симметрично (если речь идет о любых лицах мужского пола), поскольку является истинным предложение: «Если х явля­ется братом у,то и у является братом х» (напр., если Иван - брат Петра, то и Петр — брат Ивана).

ОТНОШЕНИЕ ТИПА РАВЕНСТВА

- двухместное отношение R между предметами х и у области D (см.: Предметная область),удовлетворяющее следующим аксиомам (условиям): 1) аксиоме рефлексивности: xRx (предмет находится в отношении R к само­му себе) (см.: Отношение рефлексивное); 2)аксиоме симметрич­ности: xRy - > yRx (если предмет х находится в отношении R к пред­мету у,то и у находится в отношении R к х)(см.: Отношение симметричное);3) аксиоме транзитивности: xRy & yRz - >xRz (если

 

[256]

предмет х находится в отношении R к предмету у и у находится в отношении R к z, то х находится в отношении Л к г) (см.: Отно­шение транзитивное).Если к.-л. конкретное по содержанию отно­шение R удовлетворяет всем аксиомам (1) — (3), то оно является О. т. р. Так, отношения равенства, равномощности двух множеств, обмениваемости товаров на рынке, подобия и т. п. удовлетворяют нашим аксиомам, а потому являются О. т. р. Таково же и отноше­ние одновременности (событий), поскольку предложения «Каж­дое событие одновременно с самим собой» (см. аксиому (1)), «Если событие х одновременно с событием у,то и у одновременно с х» (см. аксиому (2)), «Если х одновременно с у и у одновременно с z,то и х одновременно с z» (см. аксиому (3)) являются истинны­ми. Отношение же «больше» не является О. т. р., поскольку оно не удовлетворяет аксиомам (1) и (2): предложения «Каждый пред­мет х больше самого себя», «Если предмет х больше предмета у,то и у больше х»являются ложными.

О. т. р. играют большую роль в логике. С их помощью можно выделять в предметах той или иной области некоторые общие свойства и соответствующие им множества (см.: Определения че­рез абстракцию)и тем самым объяснить процесс формирования понятий.

ОТНОШЕНИЕ ТРАНЗИТИВНОЕ

- двухместное отношение R,оп­ределенное на некотором множестве, характеризующееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz следует xRz (xRy &yRz - >xRz).Примерами О.т. могут быть: «больше», «мень­ше», «равно», «подобно», «выше», «севернее» и др. Так, если х больше у,а у больше z,то х больше z.

ОТНОШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ (ОДНОЗНАЧНОЕ)

- бинар­ное (двухместное) отношение R,определенное на некотором мно­жестве и характеризующееся тем, что каждому значению у отно­шения xRy соответствует лишь одно-единственное значение х. Примером О. ф. может быть отношение «х отец у»,т. к. каждому значению у соответствует единственное значение х:каждый чело­век имеет единственного отца. Свойство функциональности отно­шения R записывается в виде аксиомы: из (xRy и zRy)следует (x - z).Поскольку каждому значению у в выражениях xRy и zRy соответствует одно и то же значение для х и z,то х и z совпадут, окажутся одними и теми же. О. ф. - однозначно, поскольку в об­щем случае каждому значению у отношения xRy соответствует лишь одно-единственное значение х,но не наоборот: каждому значению х отношения xRy может соответствовать не одно-един­ственное у. Так, в отношении «х отец у»каждому х может соответ-

[257]

ствовать несколько у;каждый отец может иметь несколько детей. Частным случаем О. ф. xRy является одно-однозначное или взаим­но однозначное отношение: в нем не только каждому значению х соответствует единственное значение у,но и каждому значению у соответствует единственное значение х. Примером такого отно­шения может быть и отношение «х есть отец единственного у».Другим примером одно-однозначного отношения могут быть от­ношения между числами, выражаемые формулой «х= - у»,т. к. для каждого числа у имеется лишь одно число, удовлетворяющее этой зависимости, и для каждого числа х имеется также лишь одно чис­ло, удовлетворяющее той же самой зависимости (см.: Функция).

ОТРИЦАНИЕ

— логическая операция, с помощью которой из данного высказывания получается новое высказывание; при этом если исходное высказывание истинно, его О. не является истинным, а если оно ложно, его О. не является ложным. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и поме­щаемого перед ним знака О. (в логике ~ или 1), читаемого как «не» или «неверно, что»; О. высказывания A является сложное выс­казывание ~А.

В логике классической если высказывание А истинно, его О. ~А ложно, а если A ложно, его О. ~А истинно. Напр., т. к. высказыва­ние «10 — четное число» истинно, его О. «Неверно, что 10 — чет­ное число» ложно.

ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ, см.: Отрицание.

ОЦЕНКА,см.: Оценочное высказывание.

ОЦЕНОК ЛОГИКА

— раздел логики, изучающий логическую структуру и логические связи оценочных высказываний. О. л., явля­ющаяся ветвью модальной логики,слагается из логики абсолют­ных оценок, формулируемых обычно с помощью понятий «хо­рошо», «плохо» и «(оценочно) безразлично», и логики срав­нительных оценок, в которых используются понятия «лучше», «хуже» и «равноценно».

Сравнительные оценки называются также предпочтения­ми, а их логика — предпочтений логикой.

Первая попытка создать логическую теорию абсолютных оце­нок («логику добра») была предпринята еще в 20-е годы немец­ким философом Э. Гуссерлем. Однако впервые эта логика был сфор­мулирована только в конце 60-х — начале 70-х годов (А. А. Ивин, Е. Калиновский, X. Вессель и др.).

В логике абсолютных оценок принимается, что позитивно ценное (хорошее, добро) и негативно ценное (плохое, зло) взаимно определимы: объект является хорошим, когда его отсут-

 

[258]

ствие негативно ценно; объект является плохим, когда его отсут­ствие позитивно ценно. Напр.: «Быть здоровым хорошо, только если быть больным плохо»; «Плохо, что случаются пожары, толь­ко если хорошо, когда их нет». Безразлично то, что не является ни хорошим, ни плохим. Среди законов О. л. положения:

о ничто не может быть одновременно хорошим и безразлич­ным, безразличным и плохим;

о если что-то безразлично, то и противоположное безразлич­но («Если все равно, что небо голубое, то было бы все равно, если бы оно не было голубым»);

о хорошо первое и хорошо второе, только если хорошо вместе первое и второе («Хорошо иметь кошку и хорошо иметь собаку, только если хорошо иметь кошку и собаку») и др.

Принимаемый обычно в логике абсолютных оценок прин­цип аксиологической полноты утверждает, что всякий объект является или хорошим, или безразличным, или плохим. Этот принцип справедлив только в случае предположения, что множество вещей, о ценности которых имеется определенное представление, совпадает со множеством всех вещей. Такое пред­положение не всегда оправданно. Напр., то, что у трапеции четы­ре стороны, скорее всего ни хорошо, ни плохо, ни безразлично, такого рода факты вообще лежат вне сферы наших оценок.

Другой принцип, также не являющийся универсальным, — принцип аксиологической непротиворечивости: противоречащие друг другу состояния не могут быть вместе хоро­шими (плохими). Напр.: «Неверно, что хорошо как путешество­вать, так и не путешествовать, летать самолетами и не делать это­го» и т. п. Этот принцип требует внутренней непротиворечивости системы принятых оценок, реальные же множества оценок не­редко непоследовательны.

Нормы — это частный случай оценок, а именно групповые оценки, поддержанные угрозой наказания. Нормативные понятия «обязательно», «разрешено» определимы в терминах абсолютных оценочных понятий: «Обязательно А»равносильно «А позитивно ценно, и хорошо, что уклонение от A ведет к наказанию». Норма­тивное высказывание является сокращенной формулировкой оце­ночного высказывания. Это означает, что О. л. содержит деонтичес­кую логику и является в этом смысле более фундаментальной.

Логика абсолютных оценок и логика сравнительных оценок не­сводимы друг к другу и являются двумя самостоятельными разде­лами О. л. «Лучше» неопределимо через «хорошо»: лучше одна другой могут быть и две хорошие, и две плохие вещи. Иногда «хо-

[259]

рошо» так определяется через «лучше»: нечто является хорошим, когда его наличие лучше, чем его отсутствие. Напр.: «Хорошо иметь синий цвет, если и только если быть синим лучше, чем не быть синим». Однако это и подобные ему определения носят только частичный характер и не позволяют получать «логику добра» в качестве следствия логики предпочтений.

Идеи и аппарат О. л. нашли интересные приложения в целом ряде областей, и прежде всего в политической экономии, в лин­гвистике, в исследовании морали, права, в философском анали­зе ценностей. При изучении научного познания эти приложения связаны прежде всего с анализом социально-исторической обус­ловленности познания, зависимости его от эпохи и других кон­текстуальных характеристик познания. Важную роль О. л. играет в обосновании моральных норм и в критике распространенного в буржуазной философии тезиса, что наука не должна содержать ценностей, поскольку споры о них в принципе не могут носить научного характера.

ОЦЕНОЧНАЯ МОДАЛЬНОСТЬ,см.: Аксиологическая модаль­ность.

ОЦЕНОЧНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ

- высказывание, устанавли­вающее абсолютную или сравнительную ценность какого-то объек­та, дающее ему оценку. Логическая структура и логические связи О. в. изучаются оценок логикой,слагающейся из логики абсолют­ных оценок и предпочтений логики (см.: Аксиологическая модаль­ность).

Способы выражения оценок чрезвычайно разнообразны. Аб­солютные оценки выражаются чаще всего предложениями с оценочными словами «хорошо», «плохо», «(оценочно) безраз­лично». Вместо них могут использоваться слова: «позитивно цен­но», «негативно ценно», «добро», «зло» и т. п. Сравнитель­ные оценки формулируются в предложениях с оценочными словами «лучше», «хуже», «равноценно», «предпочитается» и т. п. В языке для правильного понимания оценок важную роль играет контекст, в котором они формулируются. Можно выделять обыч­ные, или стандартные, формулировки оценочного высказывания, но в принципе предложение едва ли не любой грамматической формы способно в соответствующем контексте выражать оценку. Выделить О. в. среди других видов высказываний, опираясь только на грамматические основания, трудно.

Понятие О. в. может быть прояснено путем противопоставления его высказыванию дескриптивному (описательному), а также с по­мощью исследования внутренней структуры оценок и их видов.

9*

 

[260]

Оценка является выражением ценностного отношения ут­верждения к объекту, противоположного описательному, или ис­тинностному, отношению. В случае истинностного отноше­ния отправным пунктом сопоставления утверждения и объекта является последний; утверждение выступает как его описание. В случае ценностного отношения исходным является утверждение, выступающее как образец, стандарт. Соответствие ему объекта ха­рактеризуется в оценочных понятиях. Позитивно ценным являет­ся объект, соответствующий высказанному о нем утверждению, отвечающий предъявленным к нему требованиям.

Допустим, что сопоставляются какой-то дом и его план. Можно, приняв за исходное дом, сказать, что план, соответствующий дому, является истинным. Но можно, приняв за исходное план, сказать, что дом, отвечающий плану, является хорошим, т. е. таким, ка­ким он должен быть.

В обычном языке между истиной и оценкой есть определенное различие. Слово «истинный» употребляется, как правило, только применительно к высказываниям, слово же «хороший» много­функционально. Напр., «Хорошо, что гремит гром» — это оценка, говорящая о соответствии ситуации какому-то не указанному явно представлению; «Хорошая трава — зеленая» — в этом высказыва­нии фиксируется одно из свойств, входящих в стандартное пред­ставление о том, какой должна быть «настоящая» трава; «Этот снег хороший» — оценка, основанием которой является образцовое представление о снеге, и т. п.

Оценочное отношение мысли к действительности чаще всего выражается не с помощью особых оценочных понятий, а высказываниями с явным или подразумеваемым «должно быть»: «Ученый должен быть критичным», «Электрон на стационарной орбите не должен излучать» и т. п.

Оценка включает следующие части, или компоненты: субъект оценки — лицо (или группа лиц), приписывающее ценность некоторому объекту; предмет оценки - объект, которому при­писывается ценность, или объекты, ценности которых сопостав­ляются; характер оценки - абсолютная и сравнительная; ос­нование оценки — это то, с точки зрения чего производится оценивание. Не все эти части находят явное выражение в О. в. Но это не означает, что они не обязательны. Без любой из них нет оценки и, значит, нет фиксирующего ее О. в.

О. в. не является ни истинным, ни ложным. Истина характери­зует отношения между описательным высказыванием и действи­тельностью; оценки не являются описаниями. Они могут характе-

[261]

ризоваться как целесообразные, эффективные, разумные, обо­снованные и т. п., но не как истинные или ложные. Споры по поводу приложимости к О. в. терминов «истинно» и «ложно» во многом связаны с распространенностью двойственных, описа­тельно-оценочных выражений, которые в одних ситуациях функ­ционируют как описания, а в других - как оценка.

Т. наз. «Юма принцип»,вызывающий до сих пор дискуссии, го­ворит о невозможности логического перехода (вывода) от факти­ческих (описательных) утверждений к утверждениям долженство­вания. Данный принцип принимается логикой оценок, отвергаю­щей как выводимость оценок из чистых описаний, так и выводимость описаний из оценок. Это не означает, однако, ни того, что между описательными высказываниями и О. в. нет вооб­ще никаких связей, ни того, что оценки не способны иметь эм­пирическое обоснование.

ОШИБКА ЛОГИЧЕСКАЯ

- нарушения к.-л. законов, правил и схем логики. Если ошибка допущена неумышленно, она называ­ется паралогизмом;если правила логики нарушают умышленно, то это — софизм. Логические ошибки следует отличать от фактических ошибок. Последние обусловлены не нарушением пра­вил логики, а незнанием предмета, фактического положения дел, о котором идет речь. К О. л. нельзя причислять также ошибки сло­весного выражения наших мыслей. К числу последних относится широко известная омонимия — смешение понятий, происходя­щее вследствие того, что разные понятия часто выражаются од­ним и тем же словом, напр. «материализм» философский и «мате­риализм» в практической жизни, близкий к бездуховности.

Классификация О. л. обычно связывается с различными логи­ческими операциями и видами умозаключений. Так, можно выде­лить ошибки в делении понятий, в определении понятий; ошибки в индуктивном выводе; ошибки в дедуктивных умозаключениях; ошибки в доказательстве:по отношению к тезису, к аргументам, к демонстрации.

 

[262]

П

ПАРАДИГМА (от греч. paradeigma — пример, образец)

— совокуп­ность теоретических и методологических положений, принятых на­учным сообществом на известном этапе развития науки и исполь­зуемых в качестве образца, модели, стандарта для научного исследо­вания, интерпретации, оценки и систематизации научных данных, для осмысления гипотез и решения задач, возникающих в процессе научного познания. Неизбежные в ходе научного познания затрудне­ния то или иное сообщество ученых стремится разрешать в рамках принятой им парадигмы. Так, в свое время ученые стремились интер­претировать новые эмпирические данные науки в рамках механисти­ческого мировоззрения, абсолютизировавшего представления класси­ческой механики, представлявшего собой некоторую П. Революцион­ные сдвиги в развитии науки связаны с изменением П.

ПАРАДОКС (греч. paradoxos)

— в широком смысле: утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, от­рицание того, что представляется «безусловно правильным»; в более узком смысле — два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргументы.

Парадоксальны в широком смысле афоризмы, подобные «Люди жестоки, но человек добр», любые мнения и суждения, противостоя­щие общеизвестному, «ортодоксальному». Парадоксальным казался в свое время закон всемирного тяготения И.Ньютона, объединявший такие разные виды движения, как падение яблока и движение пла­нет по орбитам. Несомненный оттенок П. имела и волновая теория света, утверждавшая, что в центре тени, отбрасываемой небольшим непрозрачным диском, должно быть светлое пятно.

Ускорение процесса развития науки привело к тому, что пара­доксальность стала одной из характерных черт современного науч-

[263]

ного познания. Если еще сто лет назад П. воспринимался как досад­ное препятствие на пути познания, то сейчас стало ясно, что наибо­лее глубокие и сложные проблемы нередко встают в остропарадок­сальной форме.

Особую роль П. играют в логике. Они свидетельствуют о том, что привычные приемы теоретического мышления сами по себе не обес­печивают надежного продвижения к истине. П. можно рассматривать как критику логики в ее наивной, интуитивной форме.

П. играют роль фактора, контролирующего и ставящего ограниче­ния на пути конструирования логических систем. И здесь их можно сравнить с экспериментом, проверяющим правильность систем та­ких наук, как, скажем, физика и химия, и заставляющих вносить в

них изменения.

П. в логической теории говорит о несовместимости допущений, лежащих в ее основе. Он выступает как своевременно обнаружен­ный симптом болезни, без которого последнюю можно было бы долгое время не замечать.

Наиболее известную и сложную группу П. составляют антино­мии. В их числе: антиномия «лжеца» П., антиномия Рассела,антино­мия Греллинга — Нельсона и др.

Несколько особняком стоит знаменитый П. «Протагор и Еватл» и такие его версии, как «Крокодил и мать», «Санчо Панса» и др. По преданию, философ-софист Протагор (V в. до н. э.) заключил со своим учеником Еватлом договор: Еватл, обучавшийся праву, должен заплатить за обучение лишь в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Закончив обучение, Еватл не стал, однако, участво­вать в процессах. Протагор подал на него в суд, аргументируя свое требование таким образом: «Каким бы ни был результат суда, Еватл должен будет заплатить. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу заключенного до­говора. Если проиграет, заплатит согласно решению суда». На это Еватл ответил: «Если я выиграю, решение суда освободит меня от обязан­ности платить. Если суд будет не в мою пользу, это будет означать, что я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу договора».

Если под решением данного спора понимать ответ на вопрос, дол­жен Еватл уплатить Протагору или нет, то очевидно, что спор неразре­шим. Договор учителя и ученика внутренне противоречив и требует реализации логически невозможного положения: Еватл должен од­новременно и уплатить за обучение, и вместе с тем не платить.

Антиномии и подобные им П. являются рассуждениями, итог ко­торых - противоречие. В логике известны и многие другие типы П. Они также указывают на какие-то затруднения и проблемы, но де­лают это в менее резкой форме. Особый интерес среди них пред-

 

[264]

ставляют П. неточных, или размытых, имен. В этом случае не ясно, какие именно предметы подпадают под то или иное название, а какие нет (см.: Неточность).

Анализ П. способствовал прояснению оснований логики, совер­шенствованию конкретных ее теорий. Что касается центральных ло­гических антиномий, то в логике найдены достаточно эффективные методы их устранения. Пока не открыто ни одного П., для которого не было бы найдено никакого решения.

ПАРАДОКСЫ ИМПЛИКАЦИИ

— доказуемые в логике классичес­кой и некоторых других логических системах утверждения с импли­кацией, плохо согласующиеся с обычным пониманием условной связи («если..., то...») и логического следования. П. и. — это пара­доксы в широком смысле, их наличие не свидетельствует о внут­ренней противоречивости соответствующих логических теорий, но указывает на определенное рассогласование последних с привыч­ными, или интуитивными, представлениями о логических связях.

Условные высказывания, формулируемые обычно с помощью союза «если, то», играют важную роль и в повседневных, и в научных рассуждениях. Эти высказывания выполняют много разных задач, но типичная их функция, особенно в науке, — обоснование одних утверждений ссылкой на другие. Напр., ковкость железа можно обо­сновать, ссылаясь на то, что оно металл: «Если железо металл, оно является ковким».

В классической логике условные высказывания представляются с помощью импликации материальной. Она считается ложной толь­ко в случае, когда ее основание истинно, а следствие ложно. Она истинна, в частности, когда соединяемые ею высказывания являются ложными («Если Земля — куб, то Марс — треугольник») или осно­вание ее ложно, а следствие истинно («Если Юпитер обитаем, он не является обитаемым»). В обычном условном высказывании его части связаны между собой по содержанию. Материальная импликация не предполагает содержательной, смысловой связи соединяемых ею выс­казываний. Если даже они не имеют ничего общего друг с другом, составленная из них импликация может быть истинной («Если у собаки есть хвост, то у тритона четыре ноги»).

Особенностями материальной импликации обусловлено то, что ею плохо передается основная функция условной связи — функция обоснования. На это и указывает П. и. Поскольку речь идет о такой довольно неопределенной вещи, как «несогласие с интуицией», круг парадоксов материальной импликации четко не ограничен. Но в него всегда включаются парадокс истинного высказы­вания и парадокс ложного высказывания.

[265]

Согласно первому истинное высказывание может быть обосно­вано с помощью любого высказывания. Это соответствует закону логики классической,который передается так: истинное высказыва­ние имплицируется каждым высказыванием. Допустимым будет та­кое «обоснование»: «Если Наполеон не был сапожником, то "Гео­метрия" Евклида написана не им». Вряд ли, однако, разумно утвер­ждать, что, поставив перед истинным высказыванием произвольное утверждение, мы обосновали данное высказывание.

Если установлено, что какое-то высказывание истинно, то в опре­деленных пределах действительно безразлично, из каких положений оно получено. Но такое допущение классической логики не согласу­ется с представлениями о научной теории. Она является не механи­ческим набором истинных высказываний, а системой, в которой ут­верждения находятся в известных отношениях друг с другом и мо­гут обосновываться путем выведения их из вполне определенных утверждений. Едва ли имеет смысл, напр., заключение, что классичес­кая механика Ньютона обосновывается ссылкой на то, что Север­ный полюс отличается от Южного, а множество арифметических истин — ссылкой на реакции, идущие в недрах Солнца.

Согласно парадоксу ложного высказывания (см.: Закон Дунса Скота),ложное высказывание имплицирует любое высказывание. Так, высказывание «Если медь неэлектропроводна, то электрон де­лим до бесконечности» должно рассматриваться как истинное.

Данный парадокс является своеобразным предостережением про­тив принятия ложного высказывания. Введение в научную теорию такого высказывания ведет к разрушительным последствиям: в ней становится возможным обосновать все что угодно, и она теряет вся­кий смысл. Это предостережение является, несомненно, важным. Но не очевидно, что оно должно включаться в класс правил логическо­го следования, обоснованность которых зависит только от структуры входящих в них высказываний, но не от того, истинны они или ложны.

Таким образом, логика классическая с ее материальной имплика­цией не может быть признана удачным описанием условной связи, а значит, и логического следования.

Впервые на парадоксы материальной импликации обратил вни­мание амер. философ и логик К. И. Льюис (1883-1964). Он пред­ложил взамен классической логики новую теорию логического следования, в которой материальная импликация замещалась дру­гой условной связью - строгой импликацией. Это было большим шагом вперед, хотя и оказалось, что строгая импликация тоже не лишена собственных парадоксов. В их числе аналог парадокса

[266]

истинного высказывания: логически необходимое высказывание вытекает из любого высказывания; и аналог парадокса ложного высказывания: из логически невозможного высказывания вытекает какое угодно высказывание.

Более удовлетворительное описание условной связи и логичес­кого следования было дано в 50-е годы В. Аккерманом, А. Андерсо­ном и Н. Белнапом. Им удалось исключить не только парадоксы материальной импликации, но и парадоксы строгой импликации. Введенная ими непарадоксальная импликация получила название релевантной (т. е. уместной), поскольку ею могли связываться только высказывания, имеющие какое-то общее содержание.

ПАРАЛОГИЗМ (от греч. paralogismos — неправильное, ложное рассуждение)

— непреднамеренная логическая ошибка,связанная с нарушением законов и правил логики. П. следует отличать от со­физма — ошибки, совершаемой намеренно, с целью ввести в заб­луждение оппонента, обосновать ложное утверждение и т. п. (см.: Ошибка логическая).

ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ЛОГИКА

- логика, не позволяю­щая выводить из противоречия произвольное предложение. В логике классической некоторая теория называется противоречивой, когда в ней можно доказать одновременно и предложение, и его отрицание. Если при этом в теории можно доказать и произвольное предложение, она называется тривиальной.

П. л. трактует противоречие иначе, чем классическая логика. Ис­ключается возможность выводить из противоречий любые предло­жения, противоречие перестает быть угрозой разрушения теории. Этим не устраняется, конечно, принципиальная необходимость избав­ляться от противоречий в ходе дальнейшего развития теории.

Такой подход к противоречию сложился относительно недавно. В конце 40-х годов польским логиком С. Яськовским (1906—1965) была построена «логика дискуссии», не позволяющая выводить из противоречия произвольные предложения. Более совершенная вер­сия П. л. была предложена позднее бразильским логиком Н. да Костой. Паранепротиворечивой является также релевантная логика,в которой новая трактовка противоречия оказалась естественным след­ствием решения другой задачи — более адекватной, чем в классичес­кой логике, формализации условного высказывания.

О новом отношении к противоречию и возможности логики без непротиворечия закона еще в начале этого века говорили рус. логик Н. А. Васильев (1880-1940) и польский логик Я. Лукасевич (1878-1956).

ПЕРЕМЕННАЯ

- а) П. величина, которая может принимать в процессе своего изменения различные значения; б) неопределенное

[267]

имя предмета из некоторой области значений этой П., вместо кото­рого могут подставляться имена предметов этой области. П. величи­на характеризуется тем, что относит к значениям одной (независи­мой) П. величины значения другой П. величины, зависящей от пер­вой (см.: Функция).С такими П. величинами мы встречаемся в формулах математики (напр., у=х²),физики (f = т*а)и др. В логи­ке и математике мы встречаемся и с понятием П. в смысле (б). В этих случаях П. играет роль неопределенного (родового) имени, буквы, вместо которых производится соответствующая подстановка. Иног­да говорят, что в таких случаях П. есть «пустое место» в формуле, снабженное указанием, какого рода конкретные предметы (точнее — их имена) могут быть подставлены на это пустое место. Так, в выражении (х+у) ²=х²+2ху+у² П. х и у выполняют роль таких П., вместо которых можно подставлять различные числа. Идея зависи­мости между П. здесь отсутствует. Аналогично в формуле х>у,вы­ражающей в логике пропозициональную функцию, П. х и у исполь­зуются в значении (б), а именно как «пустые места».

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КЛАССОВ (МНОЖЕСТВ)

- логическая опера­ция по нахождению общих для класса (множества) элементов. Так, П. к. студентов (A) и спортсменов (В)будет класс тех студентов, которые одновременно являются спортсменами. Результат может быть представлен в виде двух пересекающихся кругов (см. рис.), где заштрихованная часть будет представлять множество студентов, яв­ляющихся одновременно спортсмена­ми (см.: Множеств теория).В логике чаще говорят не о П. к., а о пересече­нии понятий. При этом имеется в виду операция нахождения общей части объема понятий.

ПОДМЕНА ТЕЗИСА (лат. ignoratio elenchi)

— логическая ошибка в доказательстве, состоящая в том, что начав доказывать некоторый тезис, постепенно в ходе доказательства переходят к доказательству другого положения, сходного с тезисом. При этом происходит на­рушение закона тождества по отношению к тезису: тезис на всем протяжении доказательства должен оставаться одним и тем же. Опасность этой ошибки заключается в том, что благодаря сходству доказанного положения с тезисом создается иллюзия о доказаннос­ти именно тезиса. Напр.. доказывая положение «Н. невиновен», при­водят следующие аргументы: «Н. - хороший семьянин», «Н. — пере­довик производства» и т. п. Из этих аргументов вытекает вывод, что Н. - хороший человек. Но этот вывод не тождествен доказываемому тезису. Налицо подмена. П. т. часто совершается при опровержении, когда опровержение положения, лишь внешне сходного с тезисом,

 

[268]

выдают за опровержение самого тезиса или опровержение одного из аргументов (или демонстрации) рассматривают как опровержение тезиса.

Тезис в процессе доказательства можно изменять. Иногда, дока­зывая некоторое положение, мы осознаем, что оно не совсем верно и нужно доказывать другое положение. В таком случае следует прямо сказать об этом, отказаться от ранее выставленного тезиса и сфор­мулировать новый тезис и после этого продолжить доказательство уже нового тезиса.

ПОДТВЕРЖДЕНИЕ

— соответствие теории, закона, гипотезы некоторому факту или экспериментальному результату. В методоло­гии научного познания П. рассматривается как один из критериев истинности теории или закона. Для того чтобы установить, соответ­ствует ли теория действительности, т. е. верна ли она, из нее дедуци­руют предложение, говорящее о наблюдаемых или эксперименталь­но обнаруживаемых явлениях. Затем проводят наблюдения или ста­вят эксперимент, устанавливая истинность или ложность данного предложения. Если оно истинно, то это считается П. теории. Напр., обнаружение химических элементов, предсказанных Д. И. Менделе­евым на основе его таблицы, было П. этой таблицы; обнаружение планеты Уран в месте, вычисленном согласно уравнениям небесной механики Ньютона, было П. механики и т. п. С логической точки зрения процедура П. описывается следующим образом. Пусть Т~ проверяемая теория, A — эмпирическое следствие этой теории, связь между Т и А может быть выражена условным суждением «Если Т,то A». В процессе проверки обнаруживается, что A истинно; делается вывод о том, что Т подтверждена. Схема рассуждения выглядит следующим образом:

Если Т,то A.

A.

Т.

Такой вывод не дает достоверного заключения, поэтому на основа­нии истинности A мы не можем заключить, что теория Т также истинна, и говорим лишь, что теория Т подтверждена. Чем больше проверенных истинных следствий имеет теория, тем в большей сте­пени она считается подтвержденной.

Следует иметь в виду, однако, что П. никогда не может быть полным и окончательным, т. е. сколько бы П. ни получила теория, мы не сможем утверждать, что она истинна. Число возможных эмпири­ческих следствий теории бесконечно, мы же можем проверить лишь

[269]

конечное их число. Поэтому всегда сохраняется возможность того, что однажды предсказание теории окажется ложным. Напр., утвер­ждение «Все лебеди белы» в течение столетий подтверждалось сот­нями и тысячами примеров, но однажды людям встретился черный лебедь и обнаружилось, что это утверждение ложно. Это говорит о том, что подтверждаемость некоторой теории еще не позволяет нам с уверенностью сказать, что теория истинна. Ложная теория может в течение длительного времени находить П.

ПОЗНАНИЕ

— высшая форма отражения объективной действи­тельности, процесс выработки истинных знаний. Первоначально П. представляло собой одну из сторон практической деятельности лю­дей, постепенно в ходе исторического развития человечества П. стало особой деятельностью.

В П. выделяют два уровня: чувственное П., осуществляемое с помощью ощущения, восприятия, представления, и рациональное П., протекающее в понятиях, суждениях, умозаключениях и фиксируемое в теориях. Различают также обыденное, художе­ственное и научное П., а в рамках последнего — П. природы и П. общества. Различные стороны процесса П. исследуются рядом спе­циальных наук: когнитивной психологией, историей науки, социо­логией науки и т. п. Общее у