Абсолютные и сравнительные модальности

- мо­дальные характеристики, приложимые к отдельным объектам и, соответственно, к парам объектов. А. м. выступают как свойства объектов. С. м. — как отношения между объектами. Напр., с точ­ки зрения какой-то системы ценностей невыполнение обещания можно охарактеризовать как негативно ценное («плохое»), сказав: «Плохо, что данное обещание не выполнено». Но можно также установить ценностное отношение между невыполнением обеща­ния и, допустим, воздержанием от обещания, сказав: «Лучше не давать обещание, чем не выполнять его».

В логике времени к А. м. относятся понятия: «было» («всегда было»), «есть» и «будет» («всегда будет»); С. м. — «раньше», «одновременно» и «позже».

В оценок логике наряду с абсолютными оценочными понятиями «хорошо», «(оценочно) безразлично» и «плохо» исследуются так­же сравнительные оценочные понятия «лучше», «равноценно» и «хуже» (см.: Аксиологическая модальность).

 

 

[6]

В причинности логике изучаются отношения «...есть причина...» и «...есть следствие...», которые можно рассматривать как срав­нительные каузальные модальности. Им соответствует абсолютная каузальная модальность «детермини­ровано (предопределено)». Выражение «Событие А является причиной события В»устанавливает определенное отношение меж­ду двумя событиями; выражение «Детерминировано наступление события А»приписывает этому событию свойство предопреде­ленности.

В логике истины к А. м. относятся понятия «истинно», «нео­пределенно» и «ложно». Этим понятиям можно поставить в соответ­ствие сравнительное модальное понятие вероятности: «...более вероятно, чем...». Выражение «Истинно высказывание А»устанав­ливает определенное свойство высказывания; выражение «Выска­зывание А более вероятно, чем высказывание В»указывает отноше­ние двух высказываний с точки зрения их вероятности.

В логике изменения наряду с абсолютным понятием «возникает» исследуется также сравнительное понятие «... переходит в...» («Воз­никает объект А»и «Состояние А переходит в состояние В»).

Абсолютные модальные понятия иногда называются А -понятиями, сравнительные — В -понятиями, А -и В -понятия не сводимы друг к другу, они представляют собой как бы два разных видения мира, два взаимодополнительных способа описания одних и тех же вещей и событий. «Хорошо» не определимо через «лучше», «было» не определимо через «раньше» и т. д. Логики абсолютных модаль­ных понятий несводимы к логикам сравнительных понятий, и наоборот.

В модальной логике основное внимание уделяется А. м. Из срав­нительных модальных понятий относительно подробно исследо­ваны пока только аксиологические модальности «лучше», «равно­ценно», «хуже» (см.: Предпочтений логика)и каузальные модальности.

АБСТРАКТНЫЙ ПРЕДМЕТ (англ. - abstract entity)

-предмет, не существующий в действительности, созданный нашим вообра­жением. В процессе познания окружающей реальности мы выде­ляем отдельные свойства, стороны, отношения реальных предме­тов и делаем их объектом изучения. Напр., всякий товар имеет свойство обладать некоторой ценой. Мы можем отделить это свой­ство от тех вещей, которым оно присуще, и сделать его самостоя­тельным предметом рассмотрения, исследуя, скажем, колебания цены от величины спроса. В этом случае цена выступает как абстракт­ный предмет. Точно такими же абстрактными предметами явля-

[7]

ются величина, форма, цвет, масса, скорость и т. п. Оперирование абстрактными предметами облегчает нам процессы рассуждения, позволяя сосредоточить внимание именно на том, что нас интере­сует, и дает возможность сделать их более точными. Однако всегда следует помнить о том, что абстрактные предметы существуют лишь в нашем воображении. Попытка приписать им реальное существова­ние приводит к ошибке гипостазирования.

АБСТРАКЦИЯ (от лат. abstractio — отвлечение)

— 1)процесс отвлечения от некоторых характеристик (свойств, отношений) изучаемых предметов и явлений, от реальных носителей интере­сующих нас характеристик; 2) результат этого отвлечения, пред­ставляющий собой некоторый абстрактный предмет. Отвлека­ясь от некоторых характеристик исследуемых объектов, мы одновременно выделяем те характеристики, которые нас в дан­ном случае интересуют, и делаем их предметом своего рассмот­рения. Когда вы ищете себе книгу для приятного чтения, вас не интересует ее обложка, качество бумаги, на которой она напе­чатана, ее формат и т. п., вам важно лишь одно: чтобы книга была интересной. Но если вы ищете книгу для подарка, ее со­держание интересует вас уже гораздо меньше и вы большее вни­мание обращаете на ее внешний вид. В зависимости от того, что именно интересует нас в данном случае, мы будем абстрагиро­ваться от разных характеристик и благодаря этому получать раз­ные абстрактные предметы.

АБСУРД (от лат. absurdus — нелепый, глупый)

— в логике под А. обычно понимается противоречивое выражение. В таком выраже­нии что-то утверждается и отрицается одновременно, как, напр., в высказывании «Тщеславие существует и тщеславия нет». Абсур­дным считается также выражение, которое внешне не является противоречивым, но из которого все-таки может быть выведено противоречие. Скажем, в высказывании «Александр Македонский был сыном бездетных родителей» есть только утверждение, но нет отрицания и, соответственно, нет явного противоречия. Но ясно, что из этого высказывания вытекает очевидное противоре­чие: «Некоторые родители имеют детей и вместе с тем не имеют их». А. отличается от бессмысленного:бессмысленное не истинно и не ложно, его не с чем сопоставить в действительности, чтобы решить, соответствует оно ей или нет. Абсурдное высказывание осмысленно и в силу своей противоречивости является ложным. Напр., высказывание «Если идет дождь, то трамвай» бессмыслен­но, а высказывание «Яблоко было разрезано на три неравные половины» не бессмысленно, а абсурдно.

[8]

Логический закон непротиворечия говорит о недопустимости од­новременно утверждения и отрицания. Абсурдное высказывание пред­ставляет собой прямое нарушение этого закона.

В логике рассматриваются доказательства путем «приведения к А.»: если из некоторого положения выводится противоречие, то это положение является ложным (см.: Косвенное доказательство).

В обычном языке однозначности в понимания слова «А.» нет. Абсурдным называется и внутренне противоречивое выражение, и бессмысленное, а иногда и все нелепо преувеличенное.

АВТОМАТ (от греч. automatos — самодействующий)

— устрой­ство (или совокупность устройств), выполняющее по заданной программе и без участия человека все операции в процессах полу­чения, преобразования и использования различных видов энер­гии, материалов или информации. Программа А. задается его кон­струкцией или вводится в него извне — с помощью перфокарт, магнитных лент и т. п. А. используются как средство облегчения тру­да человека, повышения его производительности, как средство ос­вобождения человека от утомительной, однообразной, нетворческой деятельности. В настоящее время А. широко проникли в производство, жизнь и быт современного человека. Всем знакомы такие А., как часы, холодильники, проигрыватели и магнитофоны и т. п. Жители многоэтажных домов пользуются лифтом — это тоже А., в метро стоят А. для размена монет, в магазинах — торговые А. В процессе производства используются автоматические станки с числовым про­граммным управлением, электронно-вычислительные машины, ав­томатические линии, объединяющие в единое целое несколько раз­личных станков и механизмов. В настоящее время уже созданы и работают заводы-автоматы, где весь производственный процесс осу­ществляется без вмешательства человека.

АВТОНИМНОЕ УПОТРЕБЛЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ (от греч. autos -сам, опота — имя)

— употребление выражений в качестве обозначе­ний самих себя. Обычно языковые выражения используются для того, чтобы говорить о вещах и явлениях окружающего мира. По­этому слова, входящие в предложения, относятся к внеязыковым предметам. Напр., предложение «В средней полосе России часто встречаются березы» говорит о России и о березах. Слово «березы» здесь относится к реально существующим деревьям, обозначает их. Это обычное словоупотребление. Однако иногда приходится гово­рить о самих выражениях языка. Напр., в предложении «"Береза" состоит из трех слогов» речь идет о слове, а не о том предмете, к которому это слово относится. В таких случаях слова употребля­ются автонимно, т. е. как обозначающие сами себя. Для указания

[9]

на А. у. в. используется курсив или кавычки: «Слово "береза" состо­ит из трех слогов». Смешение обычного и А.у. языковых выражений способно приводить к логическим ошибкам в рассуждениях. Приме­ром такой ошибки может служить следующее рассуждение: «Мышь грызет книгу. Мышь — имя существительное. Следовательно, имя существительное грызет книгу».

АКСИОЛОГИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ (от греч. axios -ценный, logos — понятие, учение), или: Оценочная модальность,

— характеристика объекта с точки зрения определенной системы ценностей. Аксиологический статус отдельного объекта обычно выражается абсолютными оценочными понятиями «хорошо», «пло­хо» и «(оценочно) безразлично», используемыми в оценочном высказывании. Относительный аксиологический статус выража­ется сравнительными оценочными понятиями «лучше», «хуже» и «равноценно». Напр.: «Хорошо, что пошел дождь», «Плохо, что су­ществуют болезни», «Дождливая погода лучше сухой» и т. п. Вместо слов «хорошо» и «плохо» нередко используются слова «позитивно ценно», «является добром», «негативно ценно», «есть зло» и т. п. Вместо «лучше» используется «предпочитается».

Аксиологические модальные понятия являются необходимы­ми структурными компонентами оценочных высказываний. Логи­ческое исследование этих понятий осуществляется оценок логикой,слагающейся из логики абсолютных оценок и логи­ки сравнительных оценок (предпочтений логики). По сво­им логическим свойствам А. м. аналогичны модальностям других групп: логическим («необходимо», «возможно», «невозможно»), эпистемическим («убежден», «сомневается», «отвергает») и др.

Понятия «хорошо» и «плохо» взаимно определимы: объект яв­ляется позитивно ценным, когда его отсутствие негативно ценно. Безразличное определяется как не являющееся ни хорошим, ни плохим. Понятия «лучше» и «хуже» также взаимно определимы: первое лучше второго, когда второе хуже первого. Равноценное определяется как не являющееся ни лучшим, ни худшим.

Нормативные понятия «обязательно», «разрешено» и «запреще­но» определимы через оценочные понятия. Это означает, что деон­тическая модальная характеристика сводима к аксиологической мо­дальной характеристике (см.: Деонтическая логика).

АКСИОМА (от греч. axioma — значимое, принятое положение)

— исходное, принимаемое без доказательства положение к.-л. теории, лежащее в основе доказательств других ее положений.

Долгое время термин «А.» понимался не просто как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающе-

[10]

еся в особом доказательстве в силу его самоочевидности, нагляд­ности, ясности и т. п. Так, Аристотель (384—322 до н. э.) считал, что А. (начала) не требуют доказательства по причине своей яс­ности и простоты. Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) рассматривал принятые им геометрические А. как самооче­видные истины, достаточные для выведения всех других истин геометрии. Нередко А. трактовались как вечные и непреложные истины, известные до всякого опыта и не зависящие от него, попытка обоснования которых могла только подорвать их оче­видность.

Переосмысление проблемы обоснования А. изменило и содер­жание самого термина «А.». А. являются не исходным началом познания, а скорее его промежуточным результатом. Они обосно­вываются не сами по себе, а в качестве необходимых составных элементов теории: подтверждение последней есть одновременно и подтверждение ее А. Критерии выбора А. меняются от теории к теории и являются во многом прагматическими, учитывающими соображения краткости, удобства манипулирования, минимиза­ции числа исходных понятий и т. п. В частности, в формальном исчислении, класс теорем которого уже известен, А. — это просто одна из тех формул, из которых выводятся остальные доказуе­мые формулы. Если, однако, теория еще не определена однознач­но, выбор ее А. может диктоваться и содержательными соображе­ниями.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

- способ построения научной те­ории, при котором какие-то положения теории избираются в каче­стве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами.

А. м. — особый способ определения объектов и отношений меж­ду ними (см.: Аксиоматическое определение). А. м. используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др.

А. м. зародился еще в античности и приобрел большую извес­тность благодаря «Началам» Евклида, появившимся около 330 — 320 гг. до н. э. Евклиду не удалось, однако, описать в его «аксио­мах и постулатах» все свойства геометрических объектов, исполь­зуемые им в действительности; его доказательства сопровожда­лись многочисленными чертежами. «Скрытые» допущения гео­метрии Евклида были выявлены только в новейшее время Д. Гиль­бертом (1862-1943), рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между

[11]

ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объек­тов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержа­щие точное описание логических средств вывода теорем из акси­ом. Доказательство в такой теории представляет собой последова­тельность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода.

К аксиоматической формальной системе предъявляются тре­бования непротиворечивости, полноты, независимости системы ак­сиом и т. д.

a.m. является лишь одним из методов построения научного зна­ния. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высо­кого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории.

Как показал известный математик и логик К. Гёдель, достаточ­но богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чи­сел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности a.m. и невозможности полной формализации научного знания (см.: Гёделя теорема).

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

- определение термина через множество аксиом (постулатов), в которые он входит и кото­рые последовательно ограничивают область его возможных истол­кований.

Напр., можно попытаться дать прямое определение понятия «равенство». Но можно привести систему истинных утверждений, включающих это понятие и неявно задающих его значение: «Каж­дый объект равен самому себе»; «В случае любых объектов, если первый равен второму, то второй равен первому»; «Для всех объек­тов верно, что если первый равен второму, а второй третьему, то первый равен третьему».

А. о. является частным случаем определения контекстуального. Всякий отрывок текста, всякий контекст, в котором встречается интересующее нас понятие, является в некотором смысле неяв­ным определением последнего. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самым косвенно раскрывает его содер­жание. Встретив в тексте на иностранном языке одно-два неизве­стных слова, мы, понимая текст в целом, можем составить при­мерное представление и о значениях неизвестных слов. Аналогично дело обстоит и с А. о. Совокупность аксиом к.-л. теории является одновременно и свернутой формулировкой этой теории, и тем контекстом, который неявно определяет все входящие в аксиомы понятия.

[12]

Чтобы узнать, к примеру, что значат слова «масса», «сила», «ус­корение» и т. п., можно обратиться к аксиомам классической меха­ники Ньютона. «Сила равна массе, умноженной на ускорение», «Сила действия равна силе противодействия» и т. д. — эти положения, указывая связи понятия «сила» с другими понятиями механики, раскрывают его сущность.

Принципиальное отличие А. о. от иных контекстуальных опре­делений в том, что аксиоматический контекст строго ограничен и фиксирован. Он содержит все, что необходимо для понимания вхо­дящих в него понятий. Он ограничен по размеру и по составу.

А. о. — одна из высших форм научного определения. Не всякая теория способна определить свои исходные термины аксиомати­чески, для этого требуется относительно высокий уровень разви­тия знаний об исследуемой области. Изучаемые объекты и их от­ношения должны быть также сравнительно просты.

АЛГЕБРА БУЛЯ

— исторически первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком и математиком Дж. Булем в середине XIX в. Буль применил алгебраические мето­ды для решения логических задач и сформулировал на языке ал­гебры некоторые фундаментальные законы мышления.

Буль представляет логику как алгебру классов (будем обозначать их символами А, В, С,...). Основными операциями в А. Б. являются: сложение классов A È. B; умножение классов А Ç В;дополнение класса А'. Свойства этих операций описываются следующими ак­сиомами:

la. A È(B È C) = (A È B) È C — ассоциативность сложения;
16. A Ç(B Ç C) = (A Ç В) È C — ассоциативность умножения;
2a. A ÈB= BÈ A — коммуникативность сложения;
2б. А Ç В =В Ç А — коммуникативность умножения;
3a. A È(В ÇС)= =(A È B) Ç(A ÈC) — дистрибутивность сложения относительно умножения;
36. A Ç(B ÈC)==(A Ç B) È(A ÇC) — дистрибутивность умножения относительно сложения.
В А. Б. существуют два элемента 0 и 1, операции с которыми
подчиняются следующим соотношениям:

A È0= A;

A Ç1= A;

A È A' =1;

A Ç A '=0.

Характерная особенность А.Б. заключается в том, что в ней от­сутствуют коэффициенты и показатели степеней. Сумма двух А

 

[13]

равна А: А È А=А,а не 2А,как в обычной алгебре. Точно так же и произведение двух A равно A: А Ç А=А,а не A ².

Важным законом А. Б. является принцип двойственно­сти, согласно которому если в некотором справедливом равен­стве мы заменим все вхождения È на Ç и Ç на È, 1 на 0 и 0 на 1, то получим равенство, двойственное первому и также справедли­вое. Примерами двойственных равенств являются приведенные выше аксиомы.

А.Б. широко применяется при проектировании и проверке элек­трических схем, в которых используются реле, работающие по прин­ципу «да - нет», при программировании и проектировании ЭВМ, в операциях с переключателями, сигналами, схемами. В современ­ной математической логике этот раздел значительно усовершен­ствован и разрабатывается как теория булевых алгебр, в том числе как алгебра множеств, алгебра высказы­ваний и т. п. В области традиционной логики соотношения А. Б. часто используются для иллюстрации и прояснения отношений между объемами понятий.

АЛГОРИТМ (АЛГОРИФМ)

(от Algorithmi -латинизированная форма имени выдающегося среднеазиатского ученого Аль-Хорез­ми) — конечный набор правил, позволяющих чисто механически решать любую конкретную задачу из некоторого класса однотип­ных задач. Примерами простейших А. могут служить А. вычитания, сложения, умножения и деления целых чисел в арифметике с десятичной системой счисления.

Осуществление алгоритмического процесса может быть пере­дано машине, которая благодаря своему быстродействию спо­собна решать задачи, недоступные человеку. Возможность пере­дать машине осуществление алгоритмических процедур стимулировала создание математической теории алго­ритмов, в которой понятие А. было уточнено с помощью таких понятий, как «рекурсивная функция», «машина Тьюринга», «нор­мальный А.» и т. п.

АЛОГИЗМ (от греч. а — не, logos — разум)

— ход мысли, нару­шающий какие-то законы и правила логики и поэтому всегда со­держащий в себе логическую ошибку. Если ошибка допущена не­преднамеренно, то перед нами паралогизм;если же ошибка допущена с определенной целью, то мы столкнулись с софизмом.

АМФИБОЛИЯ (от греч. amphibolia — двусмысленность, двойствен­ность)

— логическая ошибка, в основе которой лежит двусмыс­ленность языковых выражений. Напр.: «Шуба - русское слово, но шуба греет, следовательно, некоторые русские слова греют». Здесь

 

[14]

слово «шуба» употреблено в разных смыслах, поэтому и получился абсурдный вывод.

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ. А. (от греч. analysis -разложение)

- разде­ление объекта на составные части, стороны, свойства. С. (от греч. synthesis — соединение) — объединение полученных в результате А. частей объектов, их сторон или свойств в единое целое. А. и С. используются как в мыслительной, так и в практической, напр. экспериментальной, деятельности. Уже на ступени чувственного познания мы разлагаем явления на отдельные стороны и свой­ства, выделяя их форму, цвет, величину, составные части и т. п. Процедуры А. и С. являются необходимым элементом всякого на­учного познания и обычно образуют его начальный этап, на ко­тором происходит переход от общего, нерасчлененного описания изучаемых объектов к выявлению их строения, состава и отдель­ных свойств. В различных науках используются специфические спо­собы А. и С.