Оцінювання параметрів моделі методом найменших квадратів.

Основная идея метода наименьших квадратов, заключается в том, чтобы оценить параметры регрессии, так, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений результативного фактора от рассчитанных, при тех самых значениях независимой переменной Х была минимальной. Необходимо учитывать именно квадратичное отклонение, поскольку сами остатки могут быть как положительными, так и отрицательными и при нахождении суммы они могут аккумулироваться, тем самым давая ошибочные результаты. Таким образом на основе метода наименьших квадратов, можно построить наиболее эффективную линию регрессии, которая качественно будет описывать эконометрическую модель, и которую в последствии можно использовать для нахождения прогнозных значений.

 

Поняття моделі та етапи її побудови.

Эконометрическая модель – это функция или система функций, которая описывает зависимость между социально-экономическими показателями. В общем виде модель можно представить так Y=f(X,u), где Y – зависимая, исследуемая переменная, X – фактор, который влияет на переменную Y, u – случайная составляющая, содержащая влияние сторонних, неучтенных факторов в модели. Для того чтобы построить эконометрическую модель существуют несколько этапов:

1) выдвигание гипотез, четкая постановка задачи;

2) спецификация модели. Включает качественный подбор функции, которая наиболее правильно будет описывать взаимосвязь между переменными;

3) формирования массива исходной информации;

4) оценка параметров модели с помощью МНК;

5) если некоторые предусловия использования МНК не выполняются, следует пересмотреть спецификацию модели;

6) верификация модели в целом, а также оцененных параметров;

7) построение прогноза на основе модели.

 

Специфікація моделі.

Спецификация модели – это аналитическая форма эконометрической модели, на основе исследуемых факторов. Она состоит из функции или системы функций, которые используются для построения моделей и имеет свои особенности. От того насколько правильно будет произведена спецификация модели зависит качество оцененных параметров, а также всей модели в целом, что является особенно важным при построении прогноза или же анализа экономических явлений и процессов. Существуют линейный и нелинейные (степенная, показательная, экспонентная, логарифмическая и др.) модели, имеющие свои особенности. Так, например, при исследовании зависимости объема выпуска продукции от затрат ресурсов, объективней всего применить степенную функцию Кобба-Дугласа.

 

 

Передумови застосування методу найменших квадратів.

Существуют 4 предусловия использования МНК:

1) математическое ожидание остатков равно нулю;

2) все независимые факторы не коррелируют между случайной величиной;

3) стохастическая составляющая имеют постоянную дисперсию ;

4) отсутствует взаимосвязь между стохастическими переменными в любых двух наблюдениях;

5) случайная составляющая имеет нормальное распределение;

Смысл первого условия заключается в том, что случайное отклонение в среднем не влияет на зависимую переменную.

Выполнение этого условия обеспечивает выполнения равенства

Выполнение второго условия необходимо только когда, независимая переменная является случайной величиной.

Третье условие требует, чтобы значение отклонения в одних наблюдениях не имели существенного отличия в других, если это условие выполняется, то такое явление называется гомоскедастичностью, если не выполняется – гетероскедастичностью. При гетероскедастичности оценки параметров регрессии теряют свою эффективность, то есть они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками.

 

Оператор оцінювання МНК.

Уравнение регрессии , где оценки параметров. Это уравнение также можно записать в матричном виде , где

Введем величину отклонения и запишем функцию критерия МНК В матричном виде = , тогда

Поскольку величина скаляр, она не меняется в процессе транспонирования, то есть и полученное выражение можно переписать как

Запишем условие экстремума Из этого условия получим систему нормальных уравнений для нахождения параметров регрессии Применяя метод обратной матрицы решение этой системы можем записать так