Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциал функции двух переменных
Частным дифференциалом функции называется произведение частной производной на соответствующее произвольное приращение независимой переменной: выражение называется частным дифференциалом функции по переменной х; выражение называется частным дифференциалом функции по переменной у.
Пример 1 Найти частные дифференциалы функции Решение , .
Полный дифференциал функции равен сумме ее частных дифференциалов: .
Пример 2 Найти дифференциал функции . Решение Найдем частные производные , . Подставим частные производные в формулу полного дифференциала, получим .
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку . Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке . Если уравнение поверхности задано неявно, т.е. , то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид Если уравнение поверхности задано в явном виде, т.е. , то уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид .
Нормалью к поверхности называют прямую, перпендикулярную к касательной плоскости в точке касания. Если уравнение поверхности задано неявно, т.е. , то уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид . Если уравнение поверхности задано в явном виде, т.е. , то уравнение нормали имеет вид . Пример Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Решение Найдем частные производные и вычислим их значения в точке : . Уравнение касательной плоскости: или . Уравнение нормали: .
Производная по направлению и градиент
Пусть функция дифференцируема в точке . Производная функции по направлению вектора находится по формуле , где – единичный вектор заданного направления , , – направляющие косинусы вектора, которые находятся по формулам .
Производная по направлению является скоростью изменения функции в точке по направлению . Абсолютная величина производной по направлению определяет величину скорости, а знак производной – характер изменения функции (возрастание или убывание).
Градиентом функции в точке называется вектор, обозначаемый символом и равный , т.е. вектор, проекции которого на координатные оси Ох, Оу, Oz равны соответственно частным производным по х, у, z в точке от функции . Градиент U в данной точке по численному значению и по направлению характеризует наибольшую скорость возрастания величины U.
Пример Для функции в точке найти градиент и производную по направлению . Решение Градиент находим по формуле , где тогда . Производная по направлению: , где , тогда
Контрольная работа № 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
7.1. Найти общее решение уравнения . 7.2. Найти общее решение уравнения . 7.3. Найти общее решение уравнения . 7.4. Решить задачу Коши: 7.4.1. . 7.4.2. . 7.5. Решить систему уравнений: , .
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 7 и решение типовых задач
ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение (ДУ) вида
называется уравнением с разделяющимися переменными. В нем коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от х и только от у.
Путем деления на выражение оно приводится к уравнению с разделенными переменными: . Общий интеграл его запишется в виде: . Замечание. Деление на может привести к потере решений или , обращающих это произведение в ноль. Среди этих решений могут быть особые решения.
Пример Найти общее решение уравнения . Решение Полагая , запишем уравнение в виде , разделим переменные , проинтегрируем , или , где - общий интеграл уравнения.
Размерно-однородные ДУ 1-го порядка
Функция называется однородной функцией k -го измерения относительно переменных х и у, если при любом допустимом t справедливо тождество . Пример 1 Рассмотрим функцию . Для этой функции , т.е. данная функция – однородная функция относительно х и у, второго измерения.
Пример 2 Рассмотрим функцию . Для этой функции , т.е. – однородная функция нулевого измерения относительно х и у.
ДУ 1-го порядка называется однородным относительно х и у, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у. Подстановка преобразует это уравнение в уравнение с разделяющимися переменными. Замечание. ДУ вида будет однородным в том и только в том случае, когда и являются однородными функциями одного и того же измерения.
Пример 3 Найти общее решение уравнения . Решение Запишем уравнение в виде . Так как для функции , выполняется условие , то функция - однородная функция нулевого измерения относительно х и у. Введем подстановку , откуда , тогда уравнение примет вид , или , откуда получаем . Разделяя переменные и интегрируя, находим последовательно: , производя обратную замену , находим , или - общий интеграл.
Линейные ДУ 1-го порядка
Уравнение вида , где и – непрерывные функции, называется линейным ДУ 1-го порядка. Если , то уравнение называется линейным однородным ДУ (ЛОДУ), если , то уравнение называется линейным неоднородным ДУ (ЛНДУ). Одним из методов решения линейных ДУ 1-го порядка является метод Бернулли, согласно которому решение уравнения ищут в виде произведения двух функций . Одну из функций выбирают произвольно, а другую находят из уравнения в зависимости от первой.
Пример Найти общее решение уравнения . Решение Будем искать решение уравнения в виде , тогда . Подставим и в исходное уравнение, получим . Сгруппируем члены, содержащие U в первой степени . Примем за V какое-либо решение уравнения , разделяя в нем переменные, получим , проинтегрируем , так как достаточно выбрать любое отличное от нуля решение, то постоянную не вводим, считая . Для нахождения U имеем уравнение , разделяя переменные, получим . Таким образом, , или - общее решение уравнения.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 3752; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.17.110.58 (0.055 с.) |