Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций.

Если  и  − дифференцируемые функции, то

 

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла  к вычислению интеграла , который может оказаться более простым, чем первый.

В таблице приведены типы интегралов, которые могут быть вычислены только по частям, и указано, что следует принимать за u и, что на dv.

 

№ п/п	Интеграл	u	dv
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

 

где а и b − числа.

 

Замечание.

Иногда, для получения результата надо последовательно применить интегрирование по частям несколько раз.

 

Примеры

1. ;

 

2.

;

Понятие определенного интеграла

 

Общий предел всех интегральных сумм функции f (x) на отрезке [ a, b ] называется определенным интегралом от функции f (x) в пределах от a до b и обозначается:

.

Таким образом,

                                     

   В этом случае функция f (х) называется интегрируемой на [ a, b ].

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,

f (х) — подынтегральной функцией,

х — переменной интегрирования.

Свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов интегрирования меняется знак интеграла:

.

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

.

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

     с Î [ a, b ].

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.

.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е.

.

6. Если функции  и   на отрезке  удовлетворяют условию , то

,

т.е. неравенство можно интегрировать.

7. Если  и  – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке , то

.

8. Теорема о среднем. Если функция  непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка  такая, что

.

Это равенство называется формулой среднего значения, а величина   – средним значением функции  на отрезке .

Геометрический смысл теоремы о среднем: величина определённого интеграла при 0 равна площади прямоугольника, имеющего высоту  и основание

 

Формула Ньютона-Лейбница

 

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла, которая достаточно полно изучена.

 

Рассмотрим примеры применения формулы Ньютона-Лейбница.

1. .

2. .

 

Интегрирование заменой переменной

Теорема. Пусть

1) функция  и ее производная  непрерывны при ;

2) множеством значений функции  при  является отрезок ;

3)  и .

Тогда справедлива формула:

.                      

Пример. Вычислить .

Решение.

.

Интегрирование по частям

Теорема 3. Если функции u (х) и v (х) имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула

                       

Пример 8. Вычислить .

Решение.

.