Государственной противопожарной службы МЧС России»

Государственной противопожарной службы МЧС России»

 

кафедра высшей математики и системного моделирования сложных процессов

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ

(КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ)

По дисциплине

 Математика

Направлению подготовки

38.03.04 – «Государственное и муниципальное управление»

 

 

УДК 517

 

 

Методические указания содержат краткие теоретические сведения по темам:

 «Операторы дифференцирования», «Операторы интегрирования».

Предназначены для обучающихся очной формы обучения по направлению подготовки 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление».

Авторы:

кандидат педагогических наук, доцент Е.Н.Трофимец

кандидат технических наук, доцент Н.В.Каменецкая

кандидат экономических наук, доцент Пекарская О.А.

 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Расчётно-графическая работа

 «Операторы дифференцирования»

 

Определение.

Производной функции  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

 

Записывают:

 или .

Производная функции  есть некоторая функция , произведенная из данной функции.

 

Определение.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

 

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции  в соответствующей точке, с положительным направлением оси Ох.

 

Производная сложной функции

Пусть  и , тогда  − сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

 

Теорема.

Если функции  имеет производную  в точке х, а функция  имеет производную  в соответствующей точке , то сложная функция  в точке х имеет производную , которая находится по формуле:

 или = .

 

Кратко это можно сформулировать так (правило цепочки): производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих.

 

Правила дифференцирования		Формулы дифференцирования
1.		1.	,
2.		2.
3.	,	3.
4.	, .	4.
5.	,	5.
6.	, если ,	6.
7.	, если ,	7.
		8.
		9.
		10.
		11.
		12.
		13.
		14.
		15.
		16.
		17.

 

Определение.

Дифференциалом функции  называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной х:

 или .

 

Для функции  имеем:

, т.е. .

Тогда

или .

Значит, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Из формулы  следует, что

или .

Следовательно, производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.

 

Определение.

Точка  называется точкой максимума (точкой минимума) функции , если в некоторой окрестности точки  выполняется неравенство

.

 

Значение функции в точке максимума (минимума) называют максимумом (минимумом) функции или экстремумом функции.

Из определения следует, что экстремум функции имеет локальный характер.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

 

Теорема (необходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая функция  имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю:

.

Теорема (первое достаточное условие экстремума).

Если непрерывная функция  дифференцируема в некоторой окрестности критической точки  и при переходе через нее (слева направо) производная  меняет знак с плюса на минус, то  есть точка максимума; с минуса на плюс, то  − точка минимума.

 

Укажем правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

1) найти критические точки функции на интервале ;

2) вычислить значения функции в критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка , т.е.  и ;

4) среди вычисленных значений функции выбрать наибольшее или наименьшее.

 

Теорема (второе достаточное условие экстремума)

Если в точке  первая производная функции  равна нулю: , а вторая производная в точке  существует и отлична от нуля: , то при  в точке  функция имеет максимум и минимум − при .

Определение.

График дифференцируемой функции  называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен ниже (выше) любой касательной, проведенной к данному графику (рис.5.8).

Теорема.

Если функция  во всех точках интервала  имеет отрицательную вторую производную: , то график функции в этом интервале выпуклый. Если  − график вогнутый.

 

Определение.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис.5.9).

 

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба)

Если вторая производная  при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой  есть точка перегиба.

 

Определение. Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если выполнено одно из условий:

     или  (рис.5.11)

 

Асимптоты графика функции

Вертикальные асимптоты

Определение.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис.5.10).

 

Асимптоты бывают вертикальные (параллельные оси Оу), горизонтальные (параллельные оси Ох) и наклонные.

 

Горизонтальные асимптоты

Определение.

Если при  () функция  имеет конечный предел, равный числу b:

,

то прямая  есть горизонтальная асимптота графика функции .

 

Наклонные асимптоты

Определение.

Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции  при  (), если выполняется равенство

.

Наличие наклонной асимптоты устанавливают с помощью следующей теоремы.

 

Теорема.

Для того, чтобы график функции  имел при  () наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

 и .

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая  наклонной асимптоты не имеет.

 

Варианты индивидуальных заданий

В задачах 1 – 20 найти производные заданных функций.

 

1. а) ;       б) ;       в) .

2. а) ;        б) ;       в) .

3. а) ; б) ; в) .

4. а) ;       б) ;        в) .

5. а) ;        б) ; в) .

6. а) ;        б) ; в) .

7. а) ;    б) ;       в) .

8. а) ;         б) ; в) .

9. а) ;   б) ;   в) .

10. а) ;      б) ; в) .

11. а) ;       б) ;      в) .

12. а) ;      б) ;        в) .

13. а) ; б) ; в) .

14. а) ;      б) ;          в) .

15. а) ;        б) ;    в) .

16. а) ;      б) ;              в) .

17. а) ;         б) ; в) .

18. а) ;        б) ; в) .

19. а) ;          б) ; в) .

20. а) ;         б) ;  в) .

 

 

В задачах 1 – 20 найти дифференциалы второго порядка.

 

1. .          2. .         3. .

4. .     5. .           6. .

7. .       8. .       9. .

10. .          11. .         12. .

13. .         14. .         15. .

16. .    17. .      18. .

19. .      20. .

 

 

В задачах 1 – 20 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

 

1. .      2. .         3. .

4. .          5. .       6.

7. . 8. .        9. .

10. .        11. .        12. .

13. .         14. .        15. .

16. .        17. .     18. .

19. .         20. .

 

 

Расчётно-графическая работа

 «Операторы интегрирования»

 

Первообразная функция

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной от данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F (x), зная ее производную . Искомую функцию называют первообразной функции .

 

Определение.

Функция  называется первообразной функции  на интервале , если для любого  выполняется равенство:

.

Неопределенный интеграл

Определение.

Совокупность всех первообразных функций  для данной функции  на интервале  называется неопределенным интегралом.

 

Обозначается:

,

где  − подынтегральная функция,

 − подынтегральное выражение.

 

Операция нахождения первообразной для данной функции называется интегрированием этой функции.

Дифференцирование и интегрирование функций − это две взаимно обратные операции.

 

 

Таблица основных интегралов

 

1.	;
2.	;
3.	;
4.	;
5.	;
6.	;
7.	;
8.	;
9.	;
10.	;
11.	;
12.	;
13.	;
14.	.

 

Линейные подстановки

При сведении данного интеграла к табличному часто используются преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»).

I. Под знак дифференциала, стоящего в интеграле, можно ввести любое постоянное слагаемое.

При любой постоянной а будет

.

Поэтому

.

Примеры

1. ;

 

2. ;

 

3. .

 

II. Под знак дифференциала, стоящего в интеграле, можно ввести любой постоянный множитель, разделив на него интеграл.

Известно, если а − постоянно, то

.

Тогда

.

Поэтому

.

 

Примеры

1. ;

 

2. ;

 

3. .

 

В некоторых случаях применяют оба приема вместе:

,

где а и b − постоянные.

 

 

Примеры

2. ;

 

3. .

 

 

Подстановка вида

Правило.

Чтобы найти интеграл , надо

1) переписать интеграл в виде

;

2) сделать замену , что приведет к интегралу

;

3) найти последний интеграл;

4) в полученном ответе произвести обратную замену u на .

 

Примеры

1.

;

 

2. ;

 

Подстановка вида

Правило.

Чтобы найти интеграл , надо

1) перейти к новой переменной t, связанной с х выражением ;

2) выразить через t все подынтегральное выражение :

;

3) найти новый интеграл:

;

4) в полученном ответе произвести обратную замену  на х.

 

Примеры

1.

2.

.

 

Замечание.

Иногда, для получения результата надо последовательно применить интегрирование по частям несколько раз.

 

Примеры

1. ;

 

2.

;

Формула Ньютона-Лейбница

 

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла, которая достаточно полно изучена.

 

Рассмотрим примеры применения формулы Ньютона-Лейбница.

1. .

2. .

 

Интегрирование по частям

Теорема 3. Если функции u (х) и v (х) имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула

                       

Пример 8. Вычислить .

Решение.

.

 

Варианты индивидуальных заданий

В задачах 1 – 20 найти неопределенные интегралы.

 

1. а) ;           б) ;   в) .

2. а) ;              б) ;        в) .

3. а) ;        б) ;       в) .

4. а) ;       б) ;    в)

5. а) ; б) ;      в) .

6. а) ;           б) ;        в) .

7. а) ; б) ; в) .

8. а) ;             б) ; в) .

9. а) ; б) ;          в) .

10. а) ;             б) ; в) .

11. а) ; б) ;    в) .

12. а) ;        б) ;    в) .

13. а) ; б) ;     в) .

14. а) ;        б) ;       в) .

15. а) ; б) ; в) .

16. а) ;        б) ;      в)

17. а) ; б) ;   в) .

18. а) ;           б) ;     в) .

19. а) ;  б) ; в) .

20. а) ;        б) ;      в) .

 

 

В задачах 1 – 20 вычислить определенные интегралы.

 

1. а) ;                      б) .

2. а) ;                       б) .

3. а) ;                           б) .

4. а) ;                               б) .

5. а) ;                        б) .

6. а) ;                                  б) .

7. а) ;                    б) .

8. а) ;                      б) .

9. а) ;                          б) .

10. а) ;                           б) .

11. а) ;           б) .

12. а) ;                         б) .

13. а) ;                           б) .

14. а) ;                          б) .

15. а) ;                  б) .

16. а) ;    б) .

17. а) ;                             б) .

18. а) ;                        б) .

19. а) ;                                 б) .

20. а) ;                  б) .

 

В задачах 1 – 20 найти площади фигуры, ограниченных линиями. Сделать чертеж.

 

1. , , .                 2. , .

3. , .                         4. , .

5. , , .                  6. , , .

7. , , , .            8. ,

9. , , .                                 10. , .

11. , , , .             12. , , .

13. , .                                14. , .

15. , .                            16. , .