Общая схема исследования функции и построение графика

Исследование функции  целесообразно проводить по следующей схеме.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

5. Найти интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на которых  или ).

6. Найти асимптоты графика функции.

7. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.

8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

9. Построить график функции.

 

Варианты индивидуальных заданий

В задачах 1 – 20 найти производные заданных функций.

 

1. а) ;       б) ;       в) .

2. а) ;        б) ;       в) .

3. а) ; б) ; в) .

4. а) ;       б) ;        в) .

5. а) ;        б) ; в) .

6. а) ;        б) ; в) .

7. а) ;    б) ;       в) .

8. а) ;         б) ; в) .

9. а) ;   б) ;   в) .

10. а) ;      б) ; в) .

11. а) ;       б) ;      в) .

12. а) ;      б) ;        в) .

13. а) ; б) ; в) .

14. а) ;      б) ;          в) .

15. а) ;        б) ;    в) .

16. а) ;      б) ;              в) .

17. а) ;         б) ; в) .

18. а) ;        б) ; в) .

19. а) ;          б) ; в) .

20. а) ;         б) ;  в) .

 

 

В задачах 1 – 20 найти дифференциалы второго порядка.

 

1. .          2. .         3. .

4. .     5. .           6. .

7. .       8. .       9. .

10. .          11. .         12. .

13. .         14. .         15. .

16. .    17. .      18. .

19. .      20. .

 

 

В задачах 1 – 20 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

 

1. .      2. .         3. .

4. .          5. .       6.

7. . 8. .        9. .

10. .        11. .        12. .

13. .         14. .        15. .

16. .        17. .     18. .

19. .         20. .

 

 

Интегральное исчисление функции одной переменной

Расчётно-графическая работа

 «Операторы интегрирования»

 

Первообразная функция

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной от данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F (x), зная ее производную . Искомую функцию называют первообразной функции .

 

Определение.

Функция  называется первообразной функции  на интервале , если для любого  выполняется равенство:

.

Неопределенный интеграл

Определение.

Совокупность всех первообразных функций  для данной функции  на интервале  называется неопределенным интегралом.

 

Обозначается:

,

где  − подынтегральная функция,

 − подынтегральное выражение.

 

Операция нахождения первообразной для данной функции называется интегрированием этой функции.

Дифференцирование и интегрирование функций − это две взаимно обратные операции.

 

 

Свойства неопределенного интеграла

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

.

 

2. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

.

 

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

.

 

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, а − постоянная.

 

5. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) их неопределенных интегралов:

.

 

6. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой от нее функции.

Если , то и , где .

 

Таблица основных интегралов

 

1.	;
2.	;
3.	;
4.	;
5.	;
6.	;
7.	;
8.	;
9.	;
10.	;
11.	;
12.	;
13.	;
14.	.

 

Линейные подстановки

При сведении данного интеграла к табличному часто используются преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»).

I. Под знак дифференциала, стоящего в интеграле, можно ввести любое постоянное слагаемое.

При любой постоянной а будет

.

Поэтому

.

Примеры

1. ;

 

2. ;

 

3. .

 

II. Под знак дифференциала, стоящего в интеграле, можно ввести любой постоянный множитель, разделив на него интеграл.

Известно, если а − постоянно, то

.

Тогда

.

Поэтому

.

 

Примеры

1. ;

 

2. ;

 

3. .

 

В некоторых случаях применяют оба приема вместе:

,

где а и b − постоянные.

 

 

Примеры

2. ;

 

3. .

 

 

Подстановка вида

Правило.

Чтобы найти интеграл , надо

1) переписать интеграл в виде

;

2) сделать замену , что приведет к интегралу

;

3) найти последний интеграл;

4) в полученном ответе произвести обратную замену u на .

 

Примеры

1.

;

 

2. ;

 

Подстановка вида

Правило.

Чтобы найти интеграл , надо

1) перейти к новой переменной t, связанной с х выражением ;

2) выразить через t все подынтегральное выражение :

;

3) найти новый интеграл:

;

4) в полученном ответе произвести обратную замену  на х.

 

Примеры

1.

2.

.