Дискретно распределённая случайная величина.

Закон распределения полностью характеризует случайные величины, но часто он неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайные величины суммарно, такие числа наз. числовыми характеристиками случайных величин.

Функцией распределения случайных величин называется функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее, чем заданное х. Функция распределения F(x) случайной величины Х имеет следующие свойства:

1. Все значения функции распределения F(x) принадлежат отрезку [0, 1], т.е. 0≤ F(x) ≥1.

2. Функция распределения F(x) является неубывающей, т.е. если  <  , то F() ≤ F()

З. Функция F(x) в точке  непрерывна слева, Т.е.

4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то для ее функции распределения F(x)

F(x) = о при х≤ а, F(x) = 1 при х≥b.

Непрерывно распределённая случайная величина.

Непрерыв. СВ-СВ которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутков. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины  называется значение интеграла:

Дисперсией непрерывной случайной величины  называется значение интеграла:

.

 

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины вычисляется как корень квадратный из дисперсии:

.

 

 

22. Плотность распределения непрерывной случайной величины

-это (диферил. ф-цыя распределения) f(x), p(x) – наз первую производную от интервальной функции распределения.

Свойства  плотность распределения:

1. f(x)≥0, т.к. F(X)- возрастает

2. Р(а<x<в)=

3.

Биномиальный закон распределения СВ.

Биномиальное распределение -вероятностный закон последовательности независимых испытаний Бернулли. Математическое ожидание числа появления события А в п-независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления соб.А в каждом из них М(х)=nq;

Дисперсия числа появления соб.А в п-независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления соб.А

D(х)=npq;

Среднее квадратическое отклонение G= .

ПР

Найти М(х) и D(х) число бракованных изделий в партии из 1000 изделии. Если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,005

n=1000 p=0,005 g=0,995

М(х)=1000*0,005=5

 D(х)=1000*0,005*0,995=4,975

Распределение Пуассона СВ.

Если вероятность р события в каждом испытании при неограниченном увеличении числа испытаний n, изменяется т.о., что np= , =const,

 то вероятность того, что некоторое событие появится m раз в n испытаниях стремится к величине , т.е.

 Р_n(m)  при n .

Закон распределения Пуассона:

М(х)=

 D(х)=

Έ=

26.Нормальный закон распределение СВ (распределение Гаусса).

Случайная величина Х распределена по нормальному закону, если плотность распределения имеет вид: Р(х)= .

а=М(х)

=Д(х)

Вер.попад.норм.распре-ной случ.вели-ны в интервал (α;β) вычисляется по формуле: P(α<x<β)=Ф() – Ф(). Функция Лапласа не выражается через элементарные функции .

Для ее вычисления используются специальные таблицы или методы приближенного вычисления.

27. Геометрическое распределение случайной величины

Неравенство Чебышева.

Оценим вероятность отклонения СВ от ее мат ожидания по абсолютному значению, т.е. . Впервые это неравенство было доказано Чебышевым. Вероятность того, что отклонение СВ Х от ее мат ожидания меньше положительного числа ε не меньше, чем .

P{|X-M(X)|≥ }≤ .

 

 

Закон больших величин.

Если  попарно независимы СВ, причем их дисперсия равномерно ограничены , где C=const, то как бы ни было мало положительное число ε вероятность неравенства  будет сколь угодно близка к единице, если число СВ достаточно велико: . Т.О. это означает:

1) При достаточно большом числе п СВ имеющих 2) ограниченные дисперсии почти достоверно, что отклонение среднеарифметической СВ от среднеарифметического их мат ожидания будет сколь угодно мало по абсолютной величине.

Без доказательства (на основании неравенства Чебышева).

На практике СВ Х_i имеет одно и тоже мат ожидание, равное а, тогда последнее неравенство можно представить в виде: .

Теорема Бернулли.

Если в каждой из п независимых испытаниях вероятность р появления события А постоянно, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число п достаточно велико: